提要

角是一種基本圖形，是研究三角形，四邊形等幾何圖形的基礎。角的大小與角的兩條邊的長短無關，角度表示方法很多，要注意頂點處不是一個角時，不能用一個頂點字母表示角。

知識全解

一．角的概念

（1）角的靜态定義：由公共端點的兩條射線組成的圖形稱為角。這個公共端點稱為角的頂點，這兩條射線稱為角的邊。

（2）角的動态定義：角也可以看作一條射線繞着它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。

當終止位置OB與起始位置OA成一條直線時，所成的角稱為平角，回到起始位置，與OA重合時，所成的角稱為周角。平角=180度，周角=360度。

提示：如果不做特别說明，初中階段所說的角都是指小于平角的角。

二．角的表示

一．角的單位

在實際生活中，有時還需要更精密的角度。因此我們把1度的角60等分，每份就是1份的角，記作1’；把1分的角60等分，每份就是1秒的角，記作1’’，即

提示：在進行度，分，秒的有關計數時，首先要明确它是六十進制，不同于我們習慣的十進制，在進行加減運算與乘除運算時，要按級進行，即分别按度，分，秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位後才能運算。在相乘或相加時，當低位的數大于60時要向上一級進位。

一．餘角和補角

（1）如果兩個角的和等于90度，那麼這兩個角互為餘角，簡稱互餘；如果兩個角的和等于180度，那麼這兩個角互為補角，簡稱互補。

（2）同角（或等角）的餘角相等，同角（或等角）的補角相等。

提示：①互補，互餘都是指兩個角之間的數量關系。隻有當∠α ∠β=180度時，才能稱∠α與∠β互補；隻有當∠α ∠β=90度時，才能稱∠α與∠β互餘。

②兩個角互補或互餘與兩個角的位置無關系。

③“互為補角或餘角”的含義是“兩個角中一個角是另一個角的補角或餘角”。例如，∠A ∠B=180度，即∠A是∠B的補角，∠B也是∠A的補角，不能說“∠A是補角”或“∠B是補角”。

方法點撥

類型1 角度的計算

例1 如圖所示，已知：∠AOB被分成∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4,OM平分∠AOC,ON平分∠DOB，且∠MON=90度，求∠AOB的度數。

【分析】根據題意設∠AOC=2x,∠COD=3x，∠DOB=4x，則∠AOB=9x，再根據角平分線的定義以及∠MON=90度，即可求出∠AOB的度數。

【解答】設∠AOC=2x,∠COD=3x，∠DOB=4x，則∠AOB=9x，因為OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，所以∠MOC=x，∠NOD=2x,所以∠MON=x 3x 2x=6x

又因為∠MON=90度，所以6x=90度，所以x=15度，所以∠AOB=135度。

【點評】方程是解決數學問題的重要工具，在角度的計算中運用方程思想，不僅能使解題過程簡捷明了，還可以開闊視野，提高思維能力。特别是在處理比例問題時通常設每一份為x，通過方程來解決問題。

類型2 度，分，秒之間的單位換算

例2 将31.24度化為用度，分，秒表示的形式

【分析】要将31.24度化為用度，分，秒表示的形式，隻要将0.24度化為分，然後将分中的小數化為秒即可。注意，将0.24度化為分的方法是60’×0.24。

【解答】60’×0.24=14.4’，60’’×0.4=24’’，所以

【點評】進行度，分，秒之間的單位換算，要注意度，分，秒之間的換算單位，避免換算單位上的錯誤。

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