一、在講三階行列式之前，先看下面關于三元一次方程組
這個三元一次方程組在空間坐标系中表示為三個相交的平面交于一點。若要求解這個方程組，按照以往還是要利用消元法進行求解。
第一步把式中的帶入式中，得到關于的二元一次方程組
可以,從而解的
若用線性的方法該怎麼解，我們先把這個方程組的數表寫下來，每個方程缺少的元素用0填充。
此時把每一列都看成是一個空間向量，把這三個向量（2，0，-1）、（-1，-3，2），（0，4，-1）放大或縮小等操作後，再進行組合就可以得到向量（0，4，-1），很明顯隻要把（2，0，-1）和（-1，-3，2）乘以0并加上（0，4，-1）乘以1就會得到向量（0，4，-1）
二、三階行列計算的推導
書本上給出的計算三階行列式的方法是主對角線的乘積減去副對角線的乘積的，那它是怎麼來的，書本上沒給，但是他給了二階行列式的推導過程。
按照消元法求解，首先消去,即把和得到關于,的二元一次方程組，步驟如下：
把得到關于,的二元一次方程組，再利用求解二階行列式的方法來進行計算
可以求得
根據結果可以看到的分母是一樣的，再按照二階行列式的規律寫出其分母的三階行列式，并把每一項的元素用線條連起來平行于主對角線的線用紅色實現連接，平行于副對角線的元素用黑色虛線連接，得到下圖
根據以上結果，我們可以得到兩個結論：
第一點，三階行列式的計算包含6項，每項均為不同行不同列的三個元素的乘積再冠以正負号。
第二點，我們觀察到平行于主對角線的聯線上元素的乘積為正，平行于副對角線的聯線上元素的乘積為負。
同理把的分子也寫成三階行列式
那麼我們就可以推導出結果為：
其分子式可以寫成三階行列式：
為了數學的嚴謹性，我們再驗算一下：
為了能夠更清晰的算出,把中分子一個一個展開如下，其中的中的可以約掉。
其中同顔色的内容可以相互合并為0，最後計算出：
很明顯得到的結果與推測的結果一緻。
總結一下三階行列式的特點，故名思意，即有3行3列且每一行每一列都有三個元素，其計算的方法主要概括為不同行不同列進行相乘，（平行于主對角線冠以正号，平行于副對角線冠以負号），并把所有組合（6種情況）進行相加。
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