Q：

解微分方程為什麼會出現個e？

比如一解線性的情況 今天突然想起 是不是因為x加1分之一的極限是e 但為什麼是e呢。好突兀啊

A：

你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...

想象你生活在那個微積分初創的年代，你還不知道什麼通解公式之類的玩意兒,自然常數 e 還未曾知曉...

你是一個站在時代前沿的數學家，你想知道微分方程：

的解.

你覺得可以有一個性質良好的函數作為解，比如在

上解析...

于是你可以在原點将這個函數展開：

因為

上解析嘛，所以

上光滑，求導得：

然後代入得：

要使得等式恒成立，所有項數都應該是 0

上面一個遞推式直接疊代可以解得：

也就是說解可以寫成：

的形式...

後來發現每次都要寫這麼一坨級數太煩了，經過研究發現定義

能減少很多麻煩.

然後進一步定義歐拉數

這個函數性質很好，可以把加法變乘法：

>>級數絕對收斂時算符可以交換

人們知道有這種性質的可以叫指數函數，于是，最後定義自然指數函數為

所以不是為什麼出現了個 e，出現的是

至于

為什麼會出現，樓上說的很明白了.

因此指數函數是求導算子的特征函數------算子作用于函數後的不變量，

求導仍是本身.

這個和線性代數裡矩陣與特征值是相似的...

特征值是矩陣變換後的基，特征函數也是算子變換後的基...

至于基為什麼這樣...唉...捉雞啊...這可以另開一個問題了...

---

再舉一個例子，把傅裡葉變換看成一個算子，其特征函數(之一)為

所以傅裡葉變換裡這個東西經常出現...

沒有也正常，因為傅裡葉變換的特征函數可以長得很不一樣，比如

，

這倆也是.

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