讓我們分析一個簡單的串聯電路，确定各個電阻器上的電壓降：

根據單個電阻的給定值，我們可以确定電路的總電阻，知道電阻是串聯的：

從這裡，我們可以使用歐姆定律（I=E/R）來确定總電流，我們知道總電流與每個電阻電流相同，串聯電路所有部分的電流相等：

現在，知道電路電流是2毫安，我們可以用歐姆定律（E=IR）來計算每個電阻器上的電壓：

顯然，每個電阻器上的電壓降與其電阻成正比，因為通過所有電阻器的電流都是相同的。注意R上的電壓 two是R端電壓的兩倍 one就像R的阻力一樣 two是R的兩倍 one .

如果我們改變總電壓，我們會發現電壓降的比例保持不變：

R上的電壓 two仍然是R的兩倍 one盡管電源電壓已經改變了。電壓降的比例（兩者之比）嚴格地說是電阻值的函數。

再多觀察一下，就可以明顯地看出，通過每個電阻器的電壓降也是電源電壓的固定比例。R上的電壓 one例如，當電池供電為45伏時，電壓為10伏。當蓄電池電壓增加到180伏（4倍）時，R端的電壓下降 one也增加了4倍（從10伏增加到40伏）。這個比率在R之間 one但是，電壓降和總電壓沒有變化：

同樣，其他電壓降比率也沒有随電源電壓的增加而變化：

因此，串聯電路通常被稱為分壓器因為它能将總電壓按比例（或分）為恒定比率的一小部分。通過一點代數運算，我們可以推導出一個計算串聯電阻壓降的公式，隻需給定總電壓、單個電阻和總電阻：

在分壓器電路中，單個電阻與總電阻之比等于單個電壓降與總電源電壓之比。這被稱為分壓器公式它是一種不需要經過歐姆定律電流計算就可以确定串聯電路中電壓降的捷徑。

使用此公式，我們可以用較少的步驟重新分析示例電路的電壓降：

分壓器在電表電路中有着廣泛的應用，在電表電路中，串聯電阻器的特定組合被用來将電壓“分割”成精确的比例，作為電壓測量裝置的一部分。

常用作分壓元件的一種裝置是電位計它是一個電阻，帶有一個可移動的元件，由一個手動旋鈕或控制杆定位。可移動的元素，通常稱為雨刮器，與電阻條接觸（通常稱為slidewire如果由電阻金屬線制成），則在手動控制選擇的任何點：

雨刮器觸點是在垂直電阻器元件中間繪制的向左箭頭符号。當它向上移動時，它會接觸到靠近端子1和遠離端子2的電阻片，從而降低端子1的電阻，提高端子2的電阻。當它向下移動時，會産生相反的效果。在任何雨刮器位置，端子1和2之間測得的電阻都是恒定的。

此處所示為兩種電位計類型（旋轉式和線性式）的内部圖示：

一些線性電位器是由杠杆或滑動按鈕的直線運動來驅動的。如圖所示，其他螺釘的調整能力如前所示。後一種單位有時被稱為Trimpots公司，因為它們适用于需要将可變阻力“修剪”到某個精确值的應用程序。應注意的是，并非所有線性電位計都具有與本圖所示相同的端子分配。對于一些，雨刮器終端在中間，在兩個終端之間。

下面的照片顯示了一個真實的，旋轉電位器與暴露的雨刮器和滑線方便查看。移動雨刮器的軸已幾乎順時針轉動，以便雨刮器幾乎接觸到滑塊線的左端：

這是相同的電位計，雨刮器軸幾乎逆時針移動到完全位置，以便雨刮器接近行程的另一端：

如果在外部端子之間施加恒定電壓（沿滑塊長度方向），刮水器位置将分斷施加電壓的一小部分，可在刮水器觸點和其他兩個端子之間測量。分數值完全取決于雨刮器的物理位置：

就像固定分壓器，電位器的電壓分割比嚴格來說是電阻的函數，而不是外加電壓的大小。換言之，如果電位計旋鈕或杆移動到50%（精确的中心）位置，則雨刮器和任何外部端子之間的電壓降将正好是施加電壓的1/2，無論該電壓碰巧是什麼，也不管電位計的端到端電阻是多少。換言之，電位計起到可變分壓器的作用，其中分壓比由雨刮器位置設置。

電位計的這種應用是從固定電壓源（如蓄電池）獲得可變電壓的非常有用的方法。如果您正在構建的電路需要一定量的電壓，而該電壓值小于可用電池的電壓值，您可以将電位計的外部端子連接到該電池上，然後在電位計刮水器和電路中使用的外部端子之一之間“撥号”所需的任何電壓：

當以這種方式使用時，名稱電位計很有道理：他們米（控制）the潛在的（電壓）通過産生一個可變的分壓比施加在它們之間。使用三端電位器作為可變分壓器在電路設計中非常流行。

這裡展示了幾種常用于消費電子設備以及愛好者和學生在構建電路時使用的小電位器：

在最左邊和最右邊的較小的單元被設計成插入無焊料的試驗闆或焊接到印刷電路闆上。中間單元設計為安裝在一個平闆上，導線焊接在三個端子上。

這裡還有三個電位計，比剛才顯示的裝置更專業：

大型“直升機場”單元是一個實驗室電位計，設計用于快速和容易地連接到電路。照片左下角的單位是同一類型的電位計，隻是沒有一個外殼或10轉計數盤。這兩個電位器都是精密單位，使用多轉螺旋軌道電阻條和雨刷機構進行小調整。右下角的單元是一個面闆安裝的電位計，設計用于工業應用中的粗糙服務。

• 回顧：
• 串聯電路比例，或分各電壓降之間的總電源電壓，其比例嚴格取決于電阻：E注冊護士= E總計（R）n/R總計 )
• 電位計是一種帶有三個連接點的可變電阻元件，常用作可調分壓器。

讓我們再看一看我們的示例串聯電路，這次對電路中的點進行編号，以便參考電壓：

如果我們将電壓表連接在點2和1之間，紅色測試引線連接到點2，黑色測試引線連接到點1，那麼儀表将記錄45伏電壓。通常，數字儀表顯示中的正讀數不顯示“”符号，而是暗含。但是，在本課中，電壓讀數的極性非常重要，因此我将明确顯示正數：

當電壓用雙下标（符号“E”中的字符“2-1”）指定時 2-1“），表示第一點（2）相對于第二點（1）測得的電壓。規定為“E”的電壓光盤“是指數字儀表指示的電壓，紅色測試引線位于“c”點，黑色測試引線位于“d”點：“c”處的電壓參考“d”。

如果我們用同一個電壓表測量每個電阻器上的電壓降，沿順時針方向繞着電路走，儀表的紅色測試引線在前面，黑色測試引線在後面，我們将獲得以下讀數：

我們應該已經熟悉串聯電路的一般原理，即單個電壓降加起來等于總施加電壓，但以這種方式測量電壓降，并注意讀數的極性（數學符号）揭示了這一原理的另一個方面：測量的電壓加起來等于零：

這個原則被稱為基爾霍夫電壓定律（1847年由德國物理學家古斯塔夫R.基爾霍夫發現），可以這樣說：

“回路中所有電壓的代數和必須等于零”

通過代數的，我的意思是解釋符号（極性）和大小。通過環，我是指從一個電路中的一個點到另一個點，最後回到初始點的任何路徑。在上面的例子中，循環是由以下點組成的：1-2-3-4-1。不管我們從哪個點開始，或者沿着哪個方向跟蹤回路，電壓總和仍然等于零。為了證明，我們可以将同一電路回路3-2-1-4-3中的電壓相加：

如果我們重新繪制示例串聯電路，使所有元件都用直線表示，這可能更有意義：

它仍然是相同的串聯電路，隻是元件以不同的形式排列。注意電阻電壓降相對于電池的極性：電池的電壓在左邊是負的，在右邊是正的，而所有電阻電壓降的方向都是相反的：左邊是正的，右邊是負的。這是因為電阻是抵抗由電池推動的電子流。換句話說，電阻器施加的“推力”反對電子的流動必須在與電動勢源相反的方向。

在這裡，我們可以看到數字電壓表在電路中的每個部件上顯示的是什麼，黑色導線在左側，紅色導線在右側，如水平布置：

從伏特計開始，如果我們讀取的是相同的電壓組合 one在左邊，在整個元件串中，我們将看到電壓是如何以代數方式增加（到零）：

串聯電壓加起來應該不是什麼秘密，但是我們注意到極性這些電壓對數字的相加有很大的不同。當讀取R上的電壓時 one，右 one--R two，和R one--R two--R three（我用“雙破折号”符号“-”來表示系列電阻器R之間的連接 one，右 two，和R three)，我們看到電壓是如何連續測量更大（盡管是負的）量級，因為單個電壓降的極性在同一方向（左正，右負）。R上的電壓降之和 one，右 two，和R three等于45伏特，與電池的輸出相同，隻是電池的極性與電阻電壓降的極性相反（左為負，右為正），因此我們在整個元件串上測得的電壓為0伏。

我們在整個弦上的電壓應該是0伏特，這也不是什麼秘密。看一下電路，我們可以看到串的最左邊（R的左邊 one：點2）直接連接到串的最右側（電池右側：點2），以完成電路。由于這兩個點是直接相連的，它們是電氣通用對彼此。以及這兩個電公共點之間的電壓必須歸零

基爾霍夫電壓定律（有時表示為KVL簡而言之）将為任何電路配置，不隻是簡單的系列。請注意它是如何工作的：

作為一個并聯電路，每個電阻上的電壓與電源電壓相同：6伏。彙總回路2-3-4-5-6-7-2周圍的電壓，我們得到：

請注意我是如何将最終（和）電壓标記為E 2-2. 因為我們在點2開始循環步進序列，在點2結束，這些電壓的代數和将與在同一點（E 2-2)，當然必須是零

這種電路是并聯而不是串聯的事實與基爾霍夫電壓定律的有效性無關。因此，電路可能是一個“黑匣子”——它的組件配置完全隐藏在我們的視線之外，隻有一組暴露的端子供我們測量——和KVL之間的電壓仍然有效：

從上圖中的任何一個終端開始，嘗試任何順序的步驟，回到原來的終端，你會發現電壓的代數和總是等于零

此外，我們為KVL跟蹤的“回路”甚至不必是一個真正的閉合電路意義上的電流路徑。我們所要做的就是在電路中的同一點開始和結束，計算下一點和最後一點之間的電壓降和極性。考慮這個荒謬的例子，在同一個并聯電阻電路中追蹤“回路”2-3-6-3-2：

KVL可用于确定複雜電路中的未知電壓，其中特定“回路”周圍的所有其他電壓都是已知的。以以下複雜電路為例（實際上兩個串聯電路在底部由一根單線連接）：

為了使問題更簡單，我省略了電阻值，簡單地給出了每個電阻的電壓降。兩個串聯電路之間共用一根導線（導線7-8-9-10），進行電壓測量之間這兩條線路是可能的。如果我們想确定點4和點3之間的電壓，我們可以建立一個KVL方程，其中這些點之間的電壓為未知值：

繞着回路3-4-9-8-3，我們把電壓降數字寫成數字電壓表，當我們繞着回路前進時，用紅色的測試引線在前面的點上，黑色的測試引線在後面的點上進行測量。因此，從9點到4點的電壓是正的，因為導線上的點9是正的。從點3到點8的電壓為正（）20伏，因為“紅色導線”位于點3，“黑色導線”位于點8。當然，從第8點到第9點的電壓是零，因為這兩個點在電上是公共的。

對于從第4點到第3點的電壓，我們的最終答案是負（-）32伏，它告訴我們第3點相對于第4點實際上是正的，這正是數字電壓表在第4點上的紅色表筆和第3點上的黑色表筆所顯示的：

換句話說，在這個KVL問題中，我們的“儀表引線”的初始位置是“向後的”。我們是否生成了以E開頭的KVL方程 3-4而不是E 4-3，以相反的儀表引線方向繞着同一個回路走，最終的答案應該是E 3-4= 32 volts:

重要的是要意識到這兩種方法都是“錯誤的”。在這兩種情況下，我們都能正确地評估兩點之間的電壓：點3相對于點4是正的，它們之間的電壓是32伏。

• 回顧：
• 基爾霍夫電壓定律（KVL）：“回路中所有電壓的代數和必須等于零”

分流器電路

讓我們分析一個簡單的并聯電路，确定通過單個電阻器的支路電流：

知道并聯電路中所有元件的電壓都是相同的，我們可以在最上面一行填上6伏的電壓/電流/電阻表：

利用歐姆定律（I=E/R），我們可以計算每個分支電流

知道并聯電路中支路電流的總和等于總電流，我們可以通過将6 mA、2 mA和3 mA相加得出總電流：

當然，最後一步是計算總阻力。這可以通過“總計”欄中的歐姆定律（R=E/I）或單個電阻的并聯電阻公式來實現。不管怎樣，我們都會得到相同的答案：

再一次，很明顯，通過每個電阻器的電流與其電阻有關，因為所有電阻器上的電壓都是相同的。這裡的關系不是成正比，而是成反比。例如，通過R的電流 one是通過R的電流的兩倍 three，它的阻力是R的兩倍 one .

如果我們改變這個電路的電源電壓，我們會發現（驚喜！）這些比例不變：

通過R的電流 one仍然是R的兩倍 three，盡管電源電壓已經改變。不同支路電流之間的比例嚴格來說是電阻的函數。

同樣讓人想起分壓器的是支路電流占總電流的固定比例。盡管電源電壓增加了四倍，但任何支路電流與總電流之比保持不變：

因此，并聯電路通常被稱為分流器因為它能将總電流分成小部分。通過一點代數運算，我們可以推導出一個計算并聯電阻電流的公式，隻要給出總電流、單個電阻和總電阻即可：

總電阻與單個電阻之比與單個（支路）電流與總電流之比相同。這被稱為分流器公式這是一種在已知總電流的情況下确定并聯電路支路電流的捷徑方法。

以原并聯電路為例，如果我們從知道總電流和總電阻開始，我們可以用這個公式重新計算支路電流：

如果你花時間比較兩個除法公式，你會發現它們非常相似。但是，請注意，分壓器公式中的比值是Rn（單個阻力）除以R總計電流分配器公式中的比值是多少總計除以Rn :

很容易把這兩個方程混淆，把阻力比倒過來。幫助記住正确形式的一個方法是記住，分壓器和電流分配器方程中的兩個比率必須小于1。畢竟這些都是分隔器方程，不是乘數方程！如果分數颠倒，它将提供大于1的比率，這是不正确的。知道串聯（分壓器）電路中的總電阻總是大于任何單個電阻，我們知道該公式的分數必須是RnR以上總計. 相反，知道并聯（分流器）電路中的總電阻總是小于任何單個電阻，我們就知道該公式的分數必須是R總計R以上n .

分流器電路在電表電路中也有應用，其中一小部分被測電流需要通過一個敏感的檢測設備。使用分流器公式，适當的分流電阻的大小可以在任何給定的情況下與裝置的适當電流量成比例：

• 回顧：
• 并聯電路的比例，或“分”，總的電路電流在各個支路電流之間，比例嚴格取決于電阻：In= I總計（R）總計/Rn )

基爾霍夫現行法（KCL）

讓我們仔細看看最後一個并行示例電路：

求解該電路中的所有電壓和電流值：

在這一點上，我們知道每個支路電流和電路中總電流的值。我們知道，并聯電路中的總電流必須等于支路電流之和，但在這個電路中發生的事情不止這些。查看電路中每個導線連接點（節點）處的電流，我們應該可以看到其他情況：

在負“軌道”（導線8-7-6-5）上的每個節點上，我們都有電流分流到每個連續分支電阻器的主電流。在正“軌道”（導線1-2-3-4）上的每個節點上，我們有電流彙合在一起，形成來自每個連續分支電阻器的主電流。如果你把水管回路比喻為每個支管節點充當一個“三通”管件，當水流從水泵的輸出端流向回水池或集水坑時，水流與主管道分離或合并，那麼這個事實應該相當明顯。

如果我們仔細觀察一個特定的“tee”節點，例如節點3，我們會發現進入節點的電流與退出節點的電流大小相等：

從右側和底部，有兩個電流進入标記為節點3的接線。在左邊，我們有一個單獨的電流從節點流出，其大小等于兩個輸入電流之和。參照給排水類比：隻要管道中沒有洩漏，進入管件的水流也必須離開管件。這對于任何節點（“fitting”）都适用，無論有多少流正在進入或退出。從數學上講，我們可以将這種一般關系表示為：

基爾霍夫決定用一種稍微不同的形式來表達它（盡管在數學上是等價的），稱之為它克希霍夫定律（KCL）：

用一句話概括，基爾霍夫的現行法律如下：

“進出節點的所有電流的代數和必須等于零”

也就是說，如果我們給每個電流分配一個數學符号（極性），表示它們是進入（）還是退出（-）一個節點，我們就可以把它們加在一起得到總的零，保證。

以我們的示例節點（編号3），我們可以通過建立一個以該電流為未知值的KCL方程來确定從左側流出的電流的大小：

5毫安值上的負号（-）告訴我們電流是退出節點，與2毫安和3毫安電流相反，必須都是正的（因此套房節點）。無論是負還是正表示電流的進入或退出完全是任意的，隻要它們是相反方向的相反符号，并且我們在符号上保持一緻，KCL就可以工作。

總之，基爾霍夫的電壓和電流定律是分析電路的一對強大工具。它們的有用性将在後面的章節（“網絡分析”）中變得更加明顯，但足以說明，這些定律應該像歐姆定律一樣被電子學專業的學生記住。

• 回顧：
• 基爾霍夫現行定律（KCL）：“進出節點的所有電流的代數和必須等于零”

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