固體的許多性質都可以基于靜态模型來理解（即晶體點陣模型），即認為構成固體的原子在空間做嚴格的周期性排列，在該框架内，我們可以讨論晶體的很多性質，比如晶體的X光衍射發生的條件，以及固體能帶帶論，金屬電子論等。然而它隻是實際原（離）子構形的一種近似，因為原子或離子是不可能嚴格的固定在其平衡位置上的，而是在固體溫度所控制的能量範圍内在平衡位置附近做微振動。隻有深入地了解了晶格振動的規律，更多的晶體性質才能得到理解。如：固體熱容，熱膨脹，熱傳導，融化，聲的傳播，電導率，壓電現象，某些光學和介電性質，位移性相變，超導現象，晶體和輻射波的相互作用等等。

晶格振動的研究始于固體熱容研究，19世紀初人們就通過

Dulong-Petit 定律

認識到：熱容量是原子熱運動在宏觀上的最直接表現。

然而直到20世紀初才由Einstein利用Plank量子假說解釋了固體熱容為什麼會随溫度降低而下降的現象（1907年），從而推動了固體原子振動的研究。1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理學獎獲得者)和馮卡門（Von-Karman)發表了論晶體點陣振動的論文，首次使用了周期性邊界條件，但他們的研究當時被忽視了，因為同年發表的更為簡單的Debye熱容理論（彈性波近似）已經可以很好的說明當時的實驗結果了，但後來更為精确的測量卻表明了Debye模型不足，所以1935年Blackman才重新利用Born和Von-Karman近似讨論晶格振動，發展成現在的晶格動力學理論。後來黃昆先生在晶格振動研究上成就突出，特别是1954年和Born共同寫作的《晶格動力學》一書已成為該領域公認的權威著作。

晶格振動雖是一個十分複雜的多粒子問題，但在一定條件下，依然可以在經典範疇求解，一維原子鍊的振動就是最典型的例子，它的振動既簡單可解，又能較全面地表現出晶格振動的基本特點。

一維單原子鍊的振動

運動方程：

考慮N個質量為m 的同種原子組成的一維單原子鍊。設平衡時相鄰原子間距為a（即原胞大小），在t 時刻第n 個原子偏離其平衡位置的位移為

為了建立起運動方程，我們首先要對原子之間的相互作用力做些讨論，設在平衡時，兩原子的相互作用勢為V(a)，産生相對位移（例如）後勢能發生變化是V(a δ) ，将它在平衡位置附近做泰勒展開：

首項是常數，可取為能量零點，由于平衡時勢能取極小值，第二項為零，簡諧近似下，我們隻取到第三項，即勢能展開式中的二階項（δ^2項），而忽略三階及三階以上的項，顯然，這隻适用于微振動，即δ值很小的情況。此時，恢複力：

相當于把相鄰原子間的相互作用力看作是正比于相對位移的彈性恢複力。

β稱為恢複力常數

如隻考慮最近鄰原子間的相互作用，第n 個原子受到的力：

于是第n個原子的運動方程可寫為：

一維原子鍊上的每個原子，忽略邊界原子的區别，應有同樣的方程，所以它是和原子數目相同的N個聯立的線性齊次方程。

方程的解：這樣的線性齊次方程應有一個波形式的解：

A是振幅，ω是角頻率，q 是波數，λ是波長，naq 是第n個原子的位相因子，将試解代入方程求解。

這個結果與n 無關，說明N 個方程都有同樣結果，即所有原子都同時以相同的頻率ω和相同的振幅 A在振動，但不同的原子間有一個相差，相鄰原子間的相差是aq 。

該結果還表示：隻要ω和q 滿足上述關系，試解就是聯立方程的解。通常把ω和 q 的關系稱作色散關系。

解的物理意義：格波

原子振動以波的方式在晶體中傳播。當兩原子相距的整數倍時，兩原子具有相同的振幅和位相。

ma=na 2*pi*l/q, l為整數

晶體中所有原子共同參與的振動，以波的形式在整個晶體中傳播，稱為格波。

從形式上看，格波與連續介質彈性波完全類似，但連續介質彈性波中的 x 是可以連續取值的；而在格波中隻能取 na格點位置這樣的孤立值。

連續介質彈性波：

第一布裡淵區裡的色散關系：

分立原子集體振動形成的格波與連續介質中的彈性波相比，色散關系發生了變化，偏離了線性關系，而且具有周期性和對稱性. 格波的群速度不再等于相速度

格波色散關系：

連續介質彈性波

周期性 對稱性

從解的表達式中可以看出：把aq改變2π的整數倍後，所有原子的振動實際上沒有任何區别，因此有物理意義的q 取值範圍可以限制在第一布裡淵區内。, .這就避免了某一頻率的格波對應多個波長. 由圖明顯看出兩個不同波長的格波隻表示晶體原子的一種振動狀态，q 隻需要在第一布裡淵區内取值即可，這是與連續介質彈性波的重大區别。

這種性質稱作格波的簡約性。一維單原子鍊的倒格矢：

3. 周期性邊界條件

對于理想晶體,邊界與内部的原子是一樣的,即理想晶體不考慮晶體邊界,沒有邊界效應。長為L的一維原子鍊,要作為理想晶體來對待,就要用到周期性邊界條件(即循環邊界條件或玻恩－卡曼邊界條件)。 所謂周期性邊界條件是把實際晶體看作是無限的,要求運動方程的解以晶體的長度L=Na為周期,即要求:

這個邊界條件的意思是相當于将晶體的首尾相接構成一個圓環,第0個原子與第N個原子重合。（由于N很大，所以每個原子的運動仍然可以看成是直線的）

，即

因此，此邊界條件又稱為循環邊界條件，經過這樣處理，邊界上原子與晶體内部原子的狀态一樣，即可把實際晶體當作理想晶體看待。但是，在周期性邊界條件下，格波的波矢隻能取一系列分立值。q=0， n為整數.

則

在實際的原子鍊兩端接上了全同的原子鍊後，由于原子間的相互作用主要取決于近鄰，所以除兩端極少數原子的受力與實際情況不符外，其他絕大多數的原子的運動并不受假想原子鍊的影響。（從這個意義上講，選取什麼樣的邊界條件并不是很重要） 玻恩－卡門周期性邊界條件是固體物理學中極其重要的條件，因為許多重要理論結果的前提條件是晶格的周期性邊界條件。

由此可從q求出ω，由于k值是無限的，相應的應有無窮多簡正模式，但實際上在這些簡正模式中隻有一部分是獨立的。即k取邊界條件允許的值時，有些格波将對應相同的頻率和位移，因此它們是同一個簡正模式。

非簡諧項：在晶體原子間相互作用勢能的展開式中三次方和三次方以上的項（主要是位移的3次項、4次項），與非簡諧項有關的物理效應稱為非簡諧效應，對于熱傳導、熱膨脹等物理現象的了解，非簡諧項至關重要。

p在完全簡諧振動中，原子間平均的作用力正好抵消，非諧作用部分使勢能對r=a并不完全對稱，在d<0處，比簡諧近似更陡斜，表示作用力變強了，在d>0處，比簡諧近似更平緩，表示吸引力減弱了。因此，非諧作用，使得原子在振動時引起一定的相互斥力，從而引起熱膨脹等非簡諧效應。

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