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導讀

展示物理學分析問題的方法，從蘋果到牛頓、開普勒、卡文迪許和愛因斯坦......物理學整個學科的創立從牛頓1687年的名著《自然哲學的數學原理》開始。哲學中自由的思辨在科學裡成為大膽的假設，運用數學和邏輯進行嚴格的推理。更重要的是必須用實驗和觀測結果做最終檢驗真理的标準。物理學就是哲學、數學與實驗相結合後産生的科學。

1687年，如日中天的康熙皇帝，獨自在後宮跟傳教士學幾何，玩自鳴鐘。但遙遠的西方産生了面向大衆的科學，一個多世紀後就改變中國的國運。

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和正在學物理的朋友談物理方法

即便你不是物理專業的，你應該也聽說過這個故事：牛頓在蘋果園中看見蘋果掉在地上（也有說被蘋果砸中頭的），悟出了萬有引力定律。這個故事是否可信？從科學的角度我們可以問，一位訓練有素的物理學家，能否在當時的條件下，從蘋果的落地推導出萬有引力定律？答案是肯定的。

要想再現牛頓在蘋果園中的思考，我們首先要清楚在那個著名的蘋果落地之前，牛頓已經知道什麼。牛頓當時掌握的知識，大部分都已經被今天的高中生學到了。

這樣一來，之前的問題有答案了：如果兩個物體之間的吸引力正比于二者質量的乘積，那麼地球對蘋果的引力正比于地球質量乘以蘋果質量，兩個蘋果之間的吸引力正比于兩個蘋果質量的乘積。前者是蘋果的重量，後者一定比蘋果的重量小很多很多。所以，很可能兩個蘋果之間是有吸引力的，隻不過它太小，我們觀察不到。

如果地球因為有巨大的質量産生引力，那麼地球和太陽，和其他行星之間是否也會有引力？

地球在繞太陽旋轉，但還沒有人想過為什麼，天上的事情自然是上帝安排的。很可能，牛頓在蘋果園裡，從地面想到了天上。地球繞太陽公轉的軌道是一個近似的圓形，地球在環繞太陽做勻速圓周運動。

做勻速圓周運動的物體，是有一個加速度的。雖然速度的大小不變，但方向不斷改變，随時都在拐彎。這個加速度的方向指向圓心，大小由下面這個公式給出。

轉動加速度公式

這個結果，用牛頓的微分很容易證明。今天高中的物理老師也會把這個結果教給學生。

如果我們可以把牛頓第二定律用到整個地球上，那麼地球一定是受到了一個指向軌道圓心的力，那正是太陽的方向！地球繞太陽的公轉，完全可以用太陽的吸引力解釋。因為地球有速度，才不會像蘋果那樣掉下去。看來，很可能天上的、地上的物體，都滿足同樣的力學定律，都有同樣的引力規律！

但為什麼是地球繞着太陽轉而不是太陽繞地球？為什麼所有的行星都繞太陽轉？這一定和地球上的所有蘋果都落到地面的原因一樣：太陽的質量一定比所有的行星都大很多，因此太陽對每一顆行星的引力，比它們之間的引力大很多。

兩個物體之間的引力大小，應該和距離有關，距離越遠引力越小，這才合理。否則，太陽比地球的質量大很多，我們和蘋果都會被吸到太陽上面去。但引力和距離是什麼樣的關系呢？

自然界最基本的規律，往往都是簡單的。比如牛頓第二定律，再簡單不過了。我們不妨猜猜，是跟距離成反比？還是跟距離的平方成反比？

等等，蘋果和地球之間距離怎麼算？實際上，萬有引力定律，和牛頓三定律一樣，都是針對質點的。質點是抽象出來的簡單物體，有質量，沒有尺寸和形狀結構。地球和蘋果之間的引力，需要把地球分割成無數的質點，分别計算蘋果和這些質點之間的引力，再求和。這個計算，需要用到牛頓發明的積分。

地球對蘋果的引力

如果引力和距離的平方成反比，積分的結果特别簡單：地球對蘋果的引力，相當于把地球的質量都集中到地心那個點上。在引力的公式中，用蘋果到地心的距離（就是地球半徑）代入就可以了。如果引力不是和距離平方成反比，就沒有這麼簡單漂亮的結果。蘋果樹下的牛頓也許還不知道這些，但他回到書房後，一定可以推導出這個結果，今天數學基礎好的大學生，都可以獨立地完成這個證明。

如果地面的事情太複雜一時算不清楚，不妨去想想天上的東西。在太陽系内，星體的半徑比它們之間的距離小很多，諾大的地球和太陽，反而可以被近似地當作質點。各大行星繞着太陽轉動，半徑有大有小，它們會給出引力與距離關系的信息。

早在半個多世紀前，德國天文學家開普勒，就對各大行星的軌道進行了精密的觀測和計算，總結出了三個定律。其中第三定律特别簡單：行星的軌道半徑越大，公轉周期就越長，半徑的立方和周期的平方成正比。如果引力的距離平方成反比，就可以解釋開普勒第三定律。這個推導非常簡單，今天一個物理和數學基礎好學生，也可以閉着眼睛在蘋果樹下完成這個證明。需要用到上面那個轉動加速度公式。

開普勒第三定律的推導

最後一行的公式右側，是一個隻和太陽質量有關，對地球和所有行星都一樣的常數，這就證明了開普勒第三定律。至此，從當時已知的科學知識出發，我們通過天馬行空的思考，和嚴謹踏實的推理，發現了萬有引力定律。整個推導過程并沒有用到複雜的數學，牛頓完全可能在蘋果園裡完成它。

牛頓的萬有引力定律

回到書房，牛頓還做了更多的工作。開普勒還有另外兩條定律：第一定律：地球和行星的軌道是橢圓形的（很接近正圓的橢圓形），太陽位于橢圓的一個焦點上。第二定律：行星和太陽的連線，單位時間内掃過的面積是一樣的（也就是說，行星離太陽近的時候，速度會快些）。

牛頓用他的力學第二定律，萬有引力定律，以及微積分數學工具，證明了這兩條定律。這下實錘了，我們不僅定性地，而且定量地證明了宇宙中的天體，是按照和地面物體一樣的牛頓力學定律和萬有引力定律運行的。

這還不算完，萬有引力定律預言了一個新的物理現象，就是兩個蘋果之間，任何兩個物體之間，也有一個很小的吸引力。這個現象必須得到實驗證實，這條定律才會被徹底接受。但這個力太小了，測量它是需要很高的技術。在牛頓發表萬有引力定律的111年後，終于由卡文迪許完成了這個實驗，他用了兩個大鉛球，測量了它們之間的引力符合萬有引力定律，同時第一次測到了萬有引力常數。

萬有引力常數

由于地面物體的引力是非常微弱的效應，關于引力的實驗總是很困難。後來，愛因斯坦于1916年發表了更高級的引力理論--廣義相對論；100年後的2016年，他預言的引力波才首次被探測到。

牛頓把萬有引力定律，發表在他1687年的名著《自然哲學的數學原理》中。怎麼是哲學而不是物理學？那個時候，物理學和整個科學都還沒有完全從哲學中分離出來。是牛頓創立了科學方法，成為了現代科學的奠基人。在哲學裡，你可以自由地去思辨。在科學裡，你也可以大膽假設，但你必須使用數學和邏輯進行嚴格的推理；更重要的，你必須用實驗和觀測結果做最終的檢驗真理的标準。物理學，就是哲學、數學與實驗相結合後産生的科學。

我們寫這篇事後諸葛亮的文章，正是為了展示物理學分析問題的方法。

1687年，康熙王朝正如日中天。但遙遠的西方産生了科學，一個多世紀後就改變中國的國運。

在西方，萬有引力定律也是重大的思想突破。之前人們總認為天上的事情歸上帝管，現在發現它們遵守和地面物體同樣的物理規律。虔誠的教徒牛頓激動地說：我現在隻需要上帝給我第一推動力，然後宇宙萬物就都屬于我的定律了！

感謝那個蘋果，讓人類的認識向前邁出一大步！

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背景簡介：本文作者為物理學博士戴岚山，微博@物理博士看天下。作者授權風雲之聲發布。

責任編輯：孫遠

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