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#本文将從三角函數的誕生，三角函數的功勞和作用，以及三角函數的“出道”給我們帶來的啟示三方面進行論述。#

PS: 閱讀全文需要7-8分鐘

sin和cos想必大家都不陌生，它們的中文名分别是“正弦”和“餘弦”，我們從初中起就開始和它們打交道。

如果我沒說錯的話，也許大多數人對它們的唯一印象就是:

背不完的公式，和做不出的題目，對不對? 但不知道你可曾想過，這三角函數啊，它究竟有什麼魔力，能讓它自己成為數學學習中必不可少的一部分？又是何方神聖發明了這些? 數學家們又是怎麼想到發明它的？

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02 上帝的語言

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如果說文字是人類的語言，那麼幾何圖形就是上帝的語言。

所謂上帝的語言,就是自然規律。作為科學家,其任務也就是發現這些自然規律。而發現自然規律,往往繞不開幾何圖形，它是自然規律的直觀呈現形式。

說到幾何圖形,大家腦海中可能會出現這些:

再複雜的事物,也是由最簡單、基本的事物構成的。因此不要小看這些看似簡單的圖形,它們或許是構成自然界最基本的元素。

為了幫助大家更好地理解這個概念, 我們一起來玩一個遊戲。

這是一個基本的圓

我們将它切去一小部分，再拉長成一個橢圓。

再給他畫上一個小圓圈。

在缺口處添上幾個三角形,之後再添上一個細長的橢圓。

最後在底端添上一個小正方形,再在左側填上兩個重疊的橢圓。

一個人像就這樣被構造出來。

最後呈現出來的人像雖然比較複雜,但通過觀察構建這個人像的過程，我們很容易就能發現,這個看似複雜的圖形實際上都是由最基本的圖形構成的。

不僅僅是這個人像，世間萬物，無論是你看得見、摸得着的客觀存在，還是你無法通過客體直接觀測到的的自然規律，都是由最基本的元素組成的。

你是否想起了小時候畫畫或是玩剪貼畫的場景?這就對了。繪畫本質上是一種人類運用主觀能動性,将自然萬物通過抽象,再映射到畫面上的過程。

這裡所謂抽象,包含了一個分解到再合成的過程。分解就是,通過将複雜的事物“拆”成一個個簡單的事物，而合成則是,将這些簡單的事物重新拼接成原先複雜的事物。

咱們數學,其實和畫畫真還有異曲同工之妙,正是因為,數學和畫畫都離不開“分解——再合成”，即從抽象到再現的思維。

簡單的事物往往是強大的,因為它們具有構成複雜事物的無窮潛能，按照辯證法的觀點就是，它們具有極強的普遍性。

因此,從大自然的語言——看似簡單的基本幾何圖形入手去探究自然界的複雜事物和自然規律,往往效率是最高的。

而探究這些最基本的幾何圖形,并不是一件簡單的事情。打個比方, 一個圓，夠簡單了吧，可是人們為了徹底摸清它的性質,可是掉了一層皮啊，就連測量圓周率的精确值，也花了人類上千年的時間。

這是為什麼?原因是探究工具和方法的缺乏。一旦擁有了系統可靠的探究工具和方法,探究的效率必将大幅提升。

而三角函數,就是探究這些基本圖形有力的工具和手段。為什麼呢?接下來我會從大家對三角函數的認知入手，為大家解釋這個問題。

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03 閑話說三角

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首先我們從三角函數的誕生說起。

sine(正弦)一詞始于阿拉伯人雷基奧蒙坦。他是十五世紀西歐數學界的領導人物，他于1464年完成的著作《論各種三角形》, 1533年開始發行,這是一本純三角學的書,使三角學脫離天文學,獨立成為一門數學分科。

cosine (餘弦)為英國人根日爾首先使用,最早在1620年倫敦出版的他所著的《炮兵測量學》中出現。

之後,結合個人經曆,我默認大家是從“銳角的三角比”開始,最先接觸三角函數的概念的。

所謂銳角的三角比,就是通過直角三角形各邊長之間的比例關系，來定義sin、cos、tan等三角函數。

之後,在高中和大學階段，我們從函數的角度，借助單位圓和旋轉矢量去理解三角函數的概念。簡單總結就是: “三角函數”是在單位圓内以“角度"為自變量，以“角度”對應 “任意角終邊"為因變量的函數。

旋轉矢量法下的三角函數定義“三角函數“是以“角度“為自變量,以“角度對應任意角終邊’的比值"為因變量的函數。

盡管定義方式不同, 但通過這些定義,我們可以發現,三角函數與我們所熟悉的圖形圓形和三角形,關系密不可分。三角函數出現的初衷,是為了總結出這些基本圖形内部的約束關系和矛盾。

也就是說,三角函數是解開圓和三角形許多性質的一把鑰匙,是研究基本自然語言——基本圖形的重要方法。 同時也使對于基本圖形的研究,有了更為成熟、系統的數學語言。

當我們對圓和三角形這一類最基本圖形的性質有了更進一步的了解時,就好比我們學習外語時,學會了基本語法和常用句式——我們研究複雜的自然規律和事物就變得更為輕松了。

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04 工業先聲

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在這一部分，我将為大家印證我之前的論斷——三角函數是人類探索自然的一把金鑰匙。同時給大家講一些故事,讓大家更方便地理解, 為什麼在工業時代，三角函數對于自然科學的發展會起到如此舉足輕重的作用?

首先,從發電機說起。

作為生活常識,大家可能都知道,我們日常使用的電源一般都是交流電。所謂交流電，想必大家應該也不陌生。交流電就是電壓值随着時間, 呈三角函數(正弦)變化規律的函數。

而決定交流電源性質的, 正是産生交流電源的裝置——發電機。

其原理大緻為：由燃料驅動線圈轉動，由于線圈切割磁感線，從而發動機輸出電能，實現由内能向機械能，再由機械能向電能的轉化。

但由于線圈切割磁感線的過程中，線圈與磁感線的角度随着線圈的轉動而變化，所以發電機所輸出的電源并不是穩定不變的，而是按正弦規律變化。

電能在第二次工業革命之後，幾乎成為了人類工業發展最為重要的能源。而由于獲得電能的裝置——發電機輸出的電源按正弦規律變化，故正弦函數，成為了研究電學、設計電路、電器、電氣裝備的重要理論依據和數學工具。

此所謂“經濟基礎決定上層建築”——發電機所産生電源的特點，直接決定了設計電源的“使用者”，即用電器時應當遵循的規則。

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05 神奇的波浪

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到了20世紀40年代，随着電話、電報、電台等無線通訊技術的誕生，關于電磁波的研究更是被推到了風口浪尖。而電磁波的産生，以收音機電台為例，是來自于RC振蕩電路的。

RC振蕩的原理屬于模拟電子電路的研究範疇，較為複雜，在這裡給出一個相對簡單的介紹：

RC振蕩器是一個将直流信号轉變為交流信号（即符合正弦規律的信号）的電路，且能通過内部的運算機制實現交流信号幅度和頻率的改變。不同的幅度和頻率可被用來代表不同信息，再結合遠距離傳輸，從而達到通信的目的。

可以發現，RC振蕩器所輸出的信号，同樣滿足正弦的變化規律。這樣的信号，就是我們所熟悉的電磁波。

電磁波具有傳輸速度快、穿透能力強、能量衰減小等諸多優點，以電磁波為通信的物理載體，是再合适不過的了。而再複雜的電磁波，也能用最簡單的sin/cos組合表示并模拟出來。而找到這樣的sin/cos組合，就需要借助一個數學工具——傅立葉變換。

要理解傅立葉變換，對于大家而言可能比較困難。這裡我給大家舉一個簡單的例子，看完這個例子過後，大家會對傅立葉變換的思想有一個初步的認識。

這張圖是印尼爪哇島某處的海灘，大家可以看到圖中前浪推後浪的景象。同樣，大家應該也觀察到，水面的波紋形狀是比較複雜的。

盡管波紋形狀看起來複雜，但實際上，他們是由許許多多簡單的“波紋”疊加而成的。什麼是疊加？前浪拍，後浪推，兩者碰撞，形成了新的“波浪”，而這新的“波浪”又與其他波浪之間碰撞，形成了豐富多樣波紋規律，這就是疊加。

我們可以把這個現象抽象成以下形式：

這是波浪A

這是波浪B

這是波浪C

這是波浪D

可以發現，以上ABCD四個波浪都特别“幹淨”——沒有多餘的瑕疵，都嚴格符合正弦變化規律。

但當這四個“幹淨”的波浪疊加在一起時，形成的新波浪還會“幹淨”嗎？我們來一探究竟：

跟“幹淨”的波浪相比，這疊加後的波浪更為複雜，看起來變“猙獰”了，是不是？

如果我們将更多不同的“幹淨”波形繼續往上面疊加，最後所産生出的新波形會更加“猙獰不堪”。

它們可以是這樣：

還可以是這樣：

這兩張圖即是我們日常生活中經常接觸到的音頻信号。

這就是傅立葉變換的主要思想：再複雜的波形，也能用多個簡單波形相加的形式表示，而這些簡單波形的速度、頻率和最大高度互不相同。

有了傅立葉變換，分析或者傳輸再複雜的信号也不在話下——把它“拆開”成最簡單的波形就行了，針對這些簡單的波形去設計能産生或感應到相應波形的模拟或數字電路，再将這些電路以一定的規則整合，就能達到發送、接受信号的功能，也就實現了通信，對吧！

而傅立葉變換，作為研究電磁波與通信最為重要的數學工具之一，其核心數學基礎，也是sin和cos函數，即正弦與餘弦函數。

可以說，沒有sin和cos，就沒有分析與研究信号的手段和工具，也就沒有今天便捷的互聯網通信時代。

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06 大道至簡

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如果我們回過頭來閱讀這篇文章，我們會發現：一切的起點，都是一個再簡單不過的圓！

我們來複習一下：

（敲黑闆）

1、為了徹底弄清楚圓的性質，數學家們耗費了上千年尋找研究圓的數學工具。

2、公元15-16世紀，正弦和餘弦的概念應運而生，它解釋了圓内部的性質、聯系和矛盾。

3、工業時代，發電機輸出的電壓符合正弦的規律，這使得正弦和餘弦在電磁學的研究中發揮了舉足輕重的作用。

4、現代通信時代，RC振蕩電路所激發的電磁波符合正弦規律。電磁波是遠距離傳輸信息的“最佳人選”，研究與分析電磁波離不開傅立葉變換，而傅立葉變換的核心數學基礎便是正弦和餘弦函數。

如今科技正日益改變着我們的生活，但大家可否想過，在先進的科學技術背後，為其奠基的，卻是一些再簡單不過的元素？比如說，一個圓。

這印證了文章剛開始所給出的一個命題：簡單的事物往往是強大的，因為它們具有構成複雜事物的無窮潛能。

是的，這便是科學的精神與真谛，一言以蔽之，曰：大道至簡。

因此，善于發現的你，永遠不要輕視身邊一些看似不起眼的、簡單的事物。

正是這些簡單的事物，足以撬動地球。

這些簡單的事物，正是上帝的語言。等着“翻譯家”，即智者，去揭開它們的奧秘。

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