上篇文章最後提到，前面好多問題的本質都是一個模型：

若D為∠BAC角平分線上一點，F點滿足過F作DF垂線，交AB、AC于M、N，且MF=NF。

則F的軌迹為D在AB、AC上垂足J、K連線所在的直線(除AD直線外)。

這是很容易證明的，前面也已經說過。

當然這裡一個自然的進一步的問題是：若D不在∠BAC角平分線呢？

一般叙述為：

對于給定的兩條交于A的直線和定點O，動點P滿足過P作OP垂線交兩直線于C，D。

且PC=PD。求動點P的軌迹

我的基本思路是通過幾何畫闆探索，先在直線上任選動點B，以O為圓心，OB為半徑作圓，與兩條直線交于B,C,D,E。則此四點任兩點連線中點都滿足條件，通過構造各點軌迹發現：此六點都在一個等軸雙曲線上，且此雙曲線還經過點O和完全四邊形BCDE三對對邊交點。進一步研究發現此雙曲線中心為四邊形BCDE重心（即對邊中點連線的中點），漸近線和∠BAC内外角平分線互相平行。

當然這還不夠，我們希望由兩條直線和點O确定此等軸雙曲線。聯想到上面的特例，應該和O在兩直線上的垂足有關。

設O在兩直線上投影為I，J，Z為IJ中點。O關于Z的對稱點為T，構造過A,I,O,J,T五點的圓錐曲線，度量發現此雙曲線離心率為√2，此雙曲線漸近線平行于角A平分線。

A,O,I,J滿足條件是是顯然的，因為這些點都是退化的情形:過A,I,J所作的的垂線在兩條直線截的線段長度均為0.對O能找到一條直線在兩直線上截線段相等。

下面證明本結論。

我們設等軸雙曲線方程為y=c/x,各點坐标為I(t,c/t), J(-t,-c/t),A(a,c/a), P(p,c/p) , O(o,c/o)。證明中主要應用一個引理: AI斜率為

k=( c/t- c/a)/(t-a)=-c/(at);

這樣同理即得AJ斜率為c/(at).

故AI、AJ斜率互為相反數，即∠IAJ内角平分線與x軸垂直。

由OI⊥AI，得 -c/(at)*( -c/(ot))=-1,此式等價于OJ⊥AJ。

從而證明了過A,I,O,J的等軸雙曲線中心為IJ中點，漸近線分别與∠IAJ内角平分線平行和垂直。

下面證明過此雙曲線上任意一點P作OP垂線交AI、AJ于D、C，則PD=PC。

證明：由引理知PI、PJ斜率互為相反數，OI、OJ斜率互為相反數，故∠PIO=∠PJO.

由垂直得PDIO,PCJO共圓，故∠PDO=∠PIO=∠PJO=∠PCO,

故OD=OC,PD=PC。

這證明了此雙曲線上任意一點都滿足條件，下面還要說明滿足條件的所有的點都在此雙曲線上。這也是顯然的，把上述證明倒過來寫即可，因為若PD=PC，則同理可得∠PIO=∠PJO，即得點P必在此雙曲線上。

至于四邊形BCDE對邊交點也在此等軸雙曲線上，這是因為由蝴蝶定理知這些點滿足條件，故他們在此雙曲線上。

當然當點O位于∠IAJ角平分線上時，雙曲線退化為直線IJ，即為最開始的結論。

這樣我們就獲得了一種新的角度來看待蝴蝶定理。

首先我們對于《蝴蝶定理之二》裡面的形内推廣、形外推廣等形式的蝴蝶定理有了新的認識和理解。

其次對于《蝴蝶定理之十》裡面的命題2，我們也可以從這個角度重新觀察。

再次，這裡過O作兩邊垂線體現了蝴蝶定理證法2的本質所在。

當然，最開始的結論如果從完全四邊形角度，可以叙述為：圓内接四邊形六邊中點、三對對邊交點、及圓心O在同一個等軸雙曲線上，此等軸雙曲線中心為四邊形重心，漸近線平行或垂直于對邊延長相交的角平分線。

如果我們再引入一個等軸雙曲線的重要性質：

布裡安香—彭色列定理[1]：等軸雙曲線上任意三點的垂心還在此雙曲線上。

此定理很漂亮，證明也不難，類似上面的證明，很容易計算出垂心坐标，進而說明垂心在此雙曲線上，這裡從略。

這樣我們對《蝴蝶定理之八》的第1題就能重新認識了：設AO為圓直徑，由上述結論知過ABOC的等軸雙曲線經過H，故HF=HE。

最後看一個問題：

已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，E、F在邊AC、AB上且CE=CD,BF=BD,

過A作EF平行線與△ABC外接圓交于P。

求證：PE=PF.（20181127 我們愛幾何 新題快遞 作者 盧聖）

思路分析：想到作出A的對徑點A’，用勾股定理證明A’E=A’F即可。

證明：設AA'為圓O直徑，由勾股定理得

A'B^2-A'C^2=AC^2-AB^2=DC^2-DB^2=EC^2-FB^2,

即A'F=A'E,

又A'P⊥AP,則A'P⊥EF,

故A'P為EF中垂線，故PE=PF。

注：在上述等軸雙曲線角度下，作出A’合情合理，EF中點也在此雙曲線上，且△ABC垂心H也在此雙曲線上。當然此題還有不少問題值得進一步探讨。

本文探索了一個有關蝴蝶定理的一般性問題：對于給定的兩條交于A的直線和定點O，動點P滿足過P作OP垂線交兩直線于C，D，且PC=PD。求動點P的軌迹。結果所求軌迹是一條漂亮的等軸雙曲線，在此角度下，我們對前面的蝴蝶定理等相關問題有了新的本質的理解和認識。

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