對角線互相垂直的四邊形面積證明? 題：已知四邊形ABCD中，求證：，我來為大家講解一下關于對角線互相垂直的四邊形面積證明?跟着小編一起來看一看吧!

對角線互相垂直的四邊形面積證明

題：已知四邊形ABCD中，求證：

（1）如果AC⊥BD，則AB^² CD^²=BC^² AD^²；

（2）如果AB^² CD^²=BC^² AD^²，則AC⊥BD.

分析：（1）的證明并不難，隻需要設AC、BD的交點為O（如圖1），則由勾股定理，即可得：

AB^²=OA^² OD^²，

CD^²= OB^² OC^²，

所以AB^² CD^²=OA^² OB^² OC^² OD^²，

同理，BC^² AD^²=OA^² OB^² OC^² OD^²，

所以AB^² CD^²=BC^² AD^²；

（2）的證明就有點懸了.如果采用直接證法，則首先想到的可能是運用勾股定理的逆定理，通過平移，對AC或BD的變換，使AC和BD構成三角形的兩邊.此時可得如下一種有點繁雜的證明.

證法1：如圖2，将△CDB沿CA方向平移到△AEF（C與A重合），連接DE，BF，則四邊形BDEF、ACDE、ACBF都是平行四邊形，

所以CD=AE，BC=AF，BF=DE.

過點A作GH⊥BF于H，交DE于G.則GH⊥DE.

在Rt△ABH與Rt△AFH中，由勾股定理，得

AB^²-AF^{^2}= BH^²-FH^{^2}=(BH FH)(BH-FH)=BF·(BH-FH)，

所以AB^²-BC^{^2}=BF·(BH-FH)；

同理，AD^²-CD^{^2}=DE·(DG-EG).

因為AB^² CD^²=BC^² AD^²，

所以AB^²-BC^²=AD^²-CD^²，

所以BF·(BH-FH)= DE·(DG-EG)，

所以BH-FH=DG-EG，

因為BH=BF-FH，DG=DE-EG，

所以BF-2FH=DE-2EG，

所以-2FH=-2EG，

所以FH=EG，

又FH∥EG，

所以四邊形EFHG是平行四邊形，

所以平行四邊EFHG是矩形，

所以EF⊥HF，即EF⊥BF，

因為BD∥EF，AC∥BF，

所以AC⊥BD.

如果采用間接證法——同一法，抛開AC與BD是否垂直，分别過點A、C作BD的垂線，再證這兩條垂線重合.則可得如下較為簡單的證法.

證法2：如圖3，作AE⊥BD于E，BF⊥BD于F.則由勾股定理，得

AB^²-AD^²=BE^²-DE^²

=(BE DE)(BE-DE)

=BD·(BE-DE)

=BD·(BD-DE-DE)

=BD·(BD-2DE)；

同理，BC^²-CD^²=BD·(BD-2DF)，

因為AB^² CD^²=BC^² AD^²，

所以AB^²-AD^²=BC^²-CD^²，

所以BD·(BD-2DE)= BD·(BD-2DF)，

所以DE=DF，

所以點E、F重合，

所以BD的垂線AE和CF重合，

所以AC⊥BD.

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