有部分答案（初中學生，學習中的數學問題，我們可以在評論區留言，有時間我會回複的。

兩個目的：

一是希望對開始數學不理想，現在想學的好數學的學生提供一個幫助

一是發發文章

此講義适合有一些基礎的學生（初中魯教版七上），指的是對定義類題型做着還可以但對不行理解不好的的學生準備的。（望大家看清楚後再做決定）

需要什麼樣的講義可以将學生的特點發給我，我可以針對性的做一個出來内容暫定初中數學。

一、知識梳理：

角平分線的特點（分兩角相等），隻是給三角形全等增加了一個條件，用多了就有了很多的特殊情況總結一下就成了性質

角平分線的性質：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。逆定理：在角的内部到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。

對于角平分線在等腰三角形中的應用其實和角平分線的應用是一樣的道理。

二．考點分類

考點一：角平分線的上邊的關系可以自己總結下，都是捎帶手的事（做下邊習題的時候）

點到直線距離演變：（注：将直線看成由無數個點經過特定排列組成的集合體，那麼對于特定點與這個集合上所有的連線）

1．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上一個動點，若PA=3，則PQ的最小值為（　　）

A．1.5 B．2 C．3 D．4

（理解方法，從點到距離所有可能的中的規律出發，增加規律性探索，并延伸知識）

2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，且BD=2CD，BC=9cm，則點D到AB的距離為（　　）

A．3cm B．2cm C．1cm D．4.5cm

（兩種做法一種為角平分線的性質，一種為構建三角形全等，建議用的二種方法。一切的思考和知識點都是從實踐中總結出來的）

3．如用，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=24，DE=4，AB=5，則AC的長是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

（面積公式，要寫出面積算法公式熟練之後就可以不用寫了，但是對；面積題感到困難的幾乎都是面積公式運用有問題，任何問題都要從最基本公式除法。此題為将三角形面積分成兩部分計算，再利用角平分線性質）

4．如圖，BD平分∠ABC，BC⊥DE于點E，AB=7，DE=4，則S△ABD=（　　）

A．28 B．21 C．14 D．7

（易錯選項為A面積公式要熟悉，利用已有條件解決問題和生活中的問題解決方法沒什麼區别）

5．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，點D是OB上的動點，若PC=6cm，則PD的長可以是（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．7 cm

(對點到直線距離演變的複習，因為這寫成對出現的線中隻有垂線是單獨出現的也是最短的。)

6．已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．試說明：PM=PN．

（思路推薦：符合角平分線定義的線都可以看做角平分線，所有此題∠ADC與角∠ABC公用一個角平分線可利用三角形全等連接）

【由距離相等而演變的性質運用】：

7、已知：如圖所示，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，BE、CD交于點O，且AO平分∠BAC，求證：OB=OC．

（思路推薦：角平分線的性質到這就不需要證明了，可以直接用OD=OE了，證明三角形全等就行了，簡單的為△BOD與△COE（AAS），另一種為△AOC與△AOB）

8．如圖，BD平分∠ABC交AC于點D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=BC=8，若S△ABC=28，求DE的長．

（思路推薦：将三角形面積分成兩部分計算，記得熟悉面積公式，面積公式不熟，會了這道題也沒用，重點不在這道題，在面積公式的理解。利用角平分線性質DE=DF可求DE=3.5建議用分數。有條件複習一下等腰三角形三線合一的性質。）

9．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，點F在AC上，且BD=DF．

（1）求證：CF=EB；

（2）請你判斷AE、AF與BE之間的數量關系，并說明理由．

（思路推薦：利用點到直線的距離演變出發更能看清△CDF與△DEB全等的本質，角平分線的上邊的關系可以自己總結下，都是捎帶手的事）

10、已知：如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC． （1）若連接AM，則AM是否平分∠BAD？請你證明你的結論；（2）線段DM與AM有怎樣的位置關系？請說明理由．

（3）CD、AB、AD間？直接寫出結果

（思路推薦：對角平分線性質的綜合運用，根據輔助線去證明就好了，看完全題再做每一道小題，可以說是大局觀也可以說是看看題中是否有借鑒性的東西，此題不明顯中考題中比較長見到）

11.如圖，△ABC中，P是角平分線AD，BE的交點． 求證：點P在∠C的平分線上．

（思路推薦：角平分線性質的逆定理或者角平分線定理的證明。過點P向三邊作垂線利用角平分線性質和等量代換去證明）

（思路推薦：角平分線證明是利用直角三角形中的HL證明的）

12..已知，如圖，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求證：AF為∠BAC的平分線。

（思路推薦：第一步得到垂線相等利用AAS，第二步角平分線證明是利用直角三角形中的HL證明）

13．如圖3所示，△ABC中，AB=AC，AD是∠A的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面給出四個結論，其中正确的結論有( )

①AD平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD上的點到B、C兩點的距離相等

④到AE、AF距離相等的點，到DE、DF的距離也相等

A、1個 B、2個 C、3個 D、4個

（思路推薦：前邊的思路都已提到，自己想）

14．已知：AD是△ABC角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，證：∠B＝∠C.

（思路推薦：直角三角形全等HL，角平分線性質）

15．三角形中到三邊距離相等的點是（　　）

A、三條邊的垂直平分線的交點 B、三條高的交點　

C、三條中線的交點　 D、三條角平分線的交點

（思路推薦：定義，如果能畫圖證明并總結就更有意思了）

轉【化之後的另一種形式：面積】

16．（2015•湖州）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積等于（　　）

10　　　 B． 7 　　　　　C． 5 　　　　　D． 4

（思路推薦：角平分性質與面積公式）

17. 如圖，已知△ABC的周長是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面積是多少？

(思路推薦：将三角形面積分為三部分來看，整體去算，利用角平分線性質。此處要熟悉三角形周長公式的變形或者定義)

18．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分别為51和38，則△EDF的面積為（　　）

A．6.5 B．5.5 C．8 D．13

（思路推薦：面積的整體加減）

19.如圖，D、E、F分别是△ABC的三條邊上的點，CE=BF，△DCE和△DBF的面積相等．求證：AD平分∠BAC．

（思路推薦：第一步利用面積相等得到垂線相等，第二步證明角平分線）

20.如圖，在△ABC中，BD為∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，

求△ABC的面積．

（思路推薦： 将三角形面積分成兩部分計算，别忘記了單位）

21. 已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，求證：BD DE=AC．

（思路推薦：自己搞一搞就行了此題為對前邊的熟練題型送分題）

22．（2014•長春）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一條角平分線．若CD=3，則△ABD的面積為　　　　　　．

（思路推薦：送分題）

23．如圖，△ABC的三邊長分别是6，9，12，其三條角平分線将其分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5

（思路推薦：送分題）

答案：1.C 2.A 3.D 4.C 5D 10.AD=AB CD 13.D 15.D 16.C 17.33 18.D

20.15平方厘米 22.15 23.C

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