解析幾何産生的背景
進入17世紀之後，各種的數學理論和分支如雨後春筍般茁壯成長，數學家也像韭菜一樣，一茬接着一茬。此時的幾何學主要有兩個方向：一個是德紮爾格的射影幾何學路線；另一個是笛卡爾建立起的解析幾何。
在解析幾何建立之前，歐洲人在代數上已經有所突破，包括韋達定理，三次和四次代數方程的解析解，使得代數學進入了歐洲數學家的視野。有人認為：近代數學本質上就是關于變量的數學，這區别于古代關于常量的數學。而文藝複興以來資本主義生産力的發展，對科學技術提出了更高的要求。生産實踐中産生大量的“變量”問題：機械運動；航海導航；火藥的使用、武器改進推動了彈道的研究等等。因此，對運動和變化的研究成為學術研究的中心課題。而變量數學的首個裡程碑式的成果就是解析幾何了。
解析幾何的誕生
解析幾何的基本思想是在平面中引入坐标，建立坐标系，然後将一個形如f(x,y)=0的代數方程與平面上的一條曲線對應起來：将幾何問題轉化為代數問題，也通過對代數問題的研究發現新的幾何結果；代數問題也有了幾何意義的解釋。這一幾何學的分支的創立人是兩個法國數學家——笛卡爾和費爾馬。隻是，他們最初使用的都是斜坐标系，把直角坐标系作為特殊情況。現在我們使用更多的是直角坐标系，并稱之為笛卡爾坐标系。
費爾馬和笛卡爾都是各自獨立的發明了解析幾何，他們發明的方式和目的不盡相同。費爾馬更強調軌迹的方程和用方程表示曲線的思想，他給出了直線、圓、橢圓、抛物線、雙曲線等方程的現代形式。1637年，笛卡爾以其《方法論》附錄的形式發表了《幾何學》，其中闡述了解析幾何的全部思想。而費爾馬早在1629年發現了坐标幾何的基本原理，卻一直都沒有發表，因此有了優先權的争論。
笛卡爾和費爾馬建立的坐标系并不是唯一的坐标系。1671年費爾馬的坐标幾何原理發表兩年後，牛頓建立了極坐标。有些圖形用極坐标表現會更簡單，如阿基米德螺線、懸鍊線、心髒線、三葉或四葉玫瑰線等。
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