在廣告拍賣裡，它不能保證每次競拍使得拍賣者的收益最大化，現在我們來探讨下如何選擇機制才能使得每次收益最大化，這種機制被稱為最優機制。

拍賣有兩個目标：賣者收益和社會效用，不同目标決定選擇不同的機制，不同機制導緻了競拍人獲得物品的不同概率函數和期望支付，以及該機制下的特性，比如激勵兼容、個人理性預算平衡等。

在廣告系列，機制設計裡我們說到在直接機制中，滿足激勵兼容特性的機制鼓勵廣告主說真話（b=v）是一個弱占有策略（U≥U’），會形成一個真實均衡，廣告主會持續參與競價，有利于廣告生态的長期發展。

但有個現象：它不能保證每次競拍使得拍賣者的收益最大化，現在我們來探讨下如何選擇機制才能使得每次收益最大化，這種機制被稱為最優機制。

假設條件不變：

一個不可分割的單品拍賣，潛在買家數量為N，買家 i，對物品的估價為：

（假設買家知道拍賣品對自己的價值，不受其他買家影響，稱為私有價值），賣家不知道買家的真實估值，但知道買家估價的累計分布函數：

及連續密度函數：

相互獨立，假設v的範圍[0,w]，

現在構造一個估價V的函數如下：

稱為買家的虛拟估價函數，假設Y是關于V的遞增函數，此時我們稱之為常規問題。

分配規則：

價高者得，此時的價指買家虛拟估價的價格，即把拍賣品分配給虛拟估價最高的競拍者。因為沒有假設買家是對稱的，所以不同買家有不同的虛拟估價函數，不同函數的斜率可能不同，估價最高的買家虛拟估價不一定是最高的，所以說在最優機制下的拍賣不是一個公平的機制。

支付規則：

二價結算，假設買家 i 的虛拟估價最高，那麼此時買家 i 的支付為：

其中

是買家 i 虛拟估價函數的反函數：

是除買家 i 以外虛拟估價最高者，稱該機制是不帶保留價的最優機制。

下面我們用具體圖形展示會更加直觀，假設有兩個買家1和買家2，虛拟估價函數分别如下所示，當他們的估價分别是：

時，買家1的估價函數斜率更大，函數對估價的變動更敏感，則：

此時買家1獲得拍賣品，并且支付：

如下圖所示：

對于廣告系統而言，廣告主1的支付價格不是：

因為廣告是按照ECPM來競價的，我們現在反推一下競價勝出的廣告主應該支付的實際價格，假設按照點擊計費（cpc），pCTR是預估點擊率，那麼買家 i 的競價值為：

買家2的競價值為：

假設

則買家1獲得該次曝光，買家1的點擊支付的實際價格為：

其中，

是買家1虛拟估價的反函數。

廣告的實際計費的計算雖然多了一步，但是本質沒變，從上圖1中我們可以看出，買家2的估價更高但是物品被分配給了買家1，顯然不是一個公平的競價環境，也不是一個有效的拍賣，這涉及到了價格歧視。

看人下菜碟，知道你是個有錢的主，你要同樣的東西就得比别人多出錢，怎麼知道你是個有錢的？

這就基于系統對你過往的理解，曆史數據的收集，通過建模拟合出來你的估價分布函數，有些大數據殺熟的意思，直覺上給人感覺很不公平，不過在現實生活中價格歧視無處不在。

比如工業用電和居民用電價格就不同（三級歧視），出租車分公裡數階梯計費以及個人稅分階梯計費（二級歧視），壟斷廠商不同買者不同價格（一級歧視）比比皆是，可是為什麼采用虛拟估價函數的時候賣者的收益就最大化了呢，這涉及到經濟學的一個解釋，我們下節聊。

本文由 @莫菲克 原創發布于人人都是産品經理。未經許可，禁止轉載

題圖來自Unsplash，基于CC0協議

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