下面是一道2017年陝西中考數學的壓軸大題，滿分12分，共三問，前兩問相對簡單一點，第三問綜合性較強，要想拿到滿分還是很不容易的，不妨來試試你能拿到多少分呢？

問題提出

（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，AB=12，若點O是△ABC的内心，則OA的長為（ ）；

問題探究

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果點P是AD邊上一點，且AP=3，那麼BC邊上是否存在一點Q，使得線段PQ将矩形ABCD的面積平分？若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由．

問題解決

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖③所示．管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以後，他想隻用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能确保草坪的每個角落都能澆上水，又能節約用水，于是，他讓噴灌龍頭的轉角正好等于∠AMB（即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉到MB，然後再轉回，這樣往複噴灌．）同時，再合理設計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了．

【分析】（1）構建Rt△AOD中，利用cos∠OAD=cos30°，可得OA的長；

（2）經過矩形對角線交點的直線将矩形面積平分，根據此結論作出PQ，利用勾股定理進行計算即可；

（3）如圖3，作輔助線，先确定圓心和半徑，根據勾股定理計算半徑：

在Rt△AOD中，r²=12² （r﹣8）²，解得：r=13根據三角形面積計算高MN的長，證明△ADC∽△ANM，列比例式求DC的長，确定點O在△AMB内部，利用勾股定理計算OM，則最大距離FM的長可利用相加得出結論．

【解答】解：（1）如圖1，過O作OD⊥AC于D，則AD=1/2AC=1/2×12=6，

∵O是内心，△ABC是等邊三角形，

∴∠OAD=1/2∠BAC=1/2×60°=30°，

在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=AD/OA，

∴OA=4√3，

故答案為：4√3；

（2）存在，如圖2，連接AC、BD交于點O，連接PO并延長交BC于Q，則線段PQ将矩形ABCD的面積平分，

∵點O為矩形ABCD的對稱中心，

∴CQ=AP=3，

過P作PM⊥BC于點，則PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，

由勾股定理得：PQ=12√2；

（3）如圖3，作射線ED交AM于點C

∵AD=DB，ED⊥AB，弧AB是劣弧，

∴弧

B所在圓的圓心在射線DC上，

假設圓心為O，半徑為r，連接OA，則OA=r，OD=r﹣8，AD=1/2AB=12，

在Rt△AOD中，r²=12² （r﹣8）²，

解得：r=13，

∴OD=5，

過點M作MN⊥AB，垂足為N，

∵S△ABM=96，AB=24，

∴1/2AB•MN=96，

1/2×24×MN=96，

∴MN=8，NB=6，AN=18，

∵CD∥MN，

∴△ADC∽△ANM，

∴DC:MN=AD:AN，

∴DC=16/3，

∴OD＜CD，

∴點O在△AMB内部，

∴連接MO并延長交AB弧于點F，則MF為草坪上的點到M點的最大距離，

∵在AB弧上任取一點異于點F的點G，連接GO，GM，

∴MF=OM OF=OM OG＞MG，

即MF＞MG，

過O作OH⊥MN，垂足為H，則OH=DN=6，MH=3，

∴OM=√（MH² OH²）=3√5，

∴MF=OM r=3√5 13≈19.71（米），

答：噴灌龍頭的射程至少為19.71米．

本題是圓的綜合題，綜合性非常強，考查了三角形相似的性質和判定、勾股定理、等邊三角形的性質及内心的定義、特殊的三角函數值、矩形的性質等知識，明确在特殊的四邊形中将面積平分的直線一定過對角線的交點，本題的第三問比較複雜，輔助線的作出是關鍵，根據三角形的三角關系确定其最大射程為MF．

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