确界原理本質上體現了實數的完備性。
記号與術語
U(a;δ)={x| |x-a|<δ} 點a的δ鄰域:以a為中心,δ為半徑的開區間。
U0(a;δ)={x| 0<|x-a|<δ} 點a的δ空心鄰域:以a為中心,δ為半徑的開區間,除去了點a。
U (a;δ)={x| 0<=x-a<δ} 點a的δ右鄰域:從a到a δ。
U-(a;δ)={x| 0<=a-x<δ} 點a的δ左鄰域:從a-δ到a。
U(∞;M)={x| |x|>M} ∞的M鄰域:以0為中心,M位半徑的閉區間的外部領域。
U( ∞;M)={x| x>M} ∞的M鄰域。
U(-∞;M)={x| x<-M} -∞的M鄰域。
max S:數集S的最大值。
min S:數集S的最小值。
有界集:
定義1,
設S是R的一個子集,S不等于空集:
(1)若∃M∈R,使得∀x∈S,x<=M,則稱M為S的一個上界,稱S為有上界的數集。
(2)若∃L∈R,使得∀x∈S,x>=L,則稱L為S的一個下界,稱S為有下界的數集。
(3)若S既有上界又有下界,則稱S為有界集。
其充要條件為:∃M>0,使∀x∈S,|x|<=M。
(1')若S不是有上界的數集,則稱S無上界。
即,∀M∈R,∃x0∈S,x0>M。
(2')若S不是有下界的數集,則稱S無下界。
即,∀L∈R,∃x0∈S,x0<L。
(3')若S不是有界的數集,則稱S為無界集。
即,∀M>0,∃x0∈S,使得|x0|>M。
确界:
若數集S有上界,則必有無窮多個上界,而其中最小的一個(如果有)具有重要的作用,稱為上确界。
同樣,若S有下界,最大的下界(如果有)稱為下确界。
定義2,
設S是R的一個子集,S不是空集,若η∈R滿足:
(i)∀x∈S,x<=η;(ii)∀a<η,∃x0∈S,使得x0>a,
則稱η是S的上确界,記作 η=supS.
注1 條件(i)說明η是S的一個上界;(ii)說明比η小的數都不是S的上界;
從而說明η是最小的上界,即上确界是最小的上界。
注2條件(ii)可換成:∀ε>0,∃x0∈S,x0>η-ε。
定義3,
設S是R的一個子集,S不是空集,若ξ∈R滿足:
(i)∀x∈S,x>=ξ;(ii)∀b>ξ,∃x0∈S,使得x0<b,
則稱ξ是S的下确界,記作 ξ=infS.
注3下确界就是最大的下屆。
注3下确界定義中的(ii)可換成:∀ε>0,∃x0∈S,x0<ξ ε。
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