甲骨文中的數學思想：對零的發明和重視

數學史家認為，數字零的發明和使用，是人類數學史一大關口。因為數字零與其他數字不同，其他的數字都有自然存在物與之對應，但是零卻沒有，數字零的發明需要的抽象程度和邏輯程度更高。因此，數學史家一直想弄清楚人類最開始是如何發明和使用數字零的，但是，這個問題一直沒有解決，成熟數學史上的一大懸案。

這兩天我在研究甲骨文，捎帶着就把這一問題順利解決了。這個答案就存在于零字，以及其他與中國古代用結繩約定日期相關甲骨文字形中。

甲骨文至現在，零字的字形變化并不算很大，有兩個字形，一個是霝，一個是零。甲骨文時期，零的字形就是霝，西周出現了零，并成為主流字形，霝被邊緣化。從西周至今，零成為主流形态。其實，霝和零在字形意義上，是完全相同的。隻是“零”跟強調零的命令的作用。但是，在霝中也同樣有這個作用。

也就是說，零的甲骨文和金文字形包含着這麼一條信息：零就是命令。這也意味着，在當時的中國社會，零非常重要，重要到象命令一樣。那麼數字零為什麼會有命令的作用？這是問題的關鍵。

這源于，直至春秋之前，一直在盛行的利用結繩或書契進行日期約定的方法。

對于現代社會而言，約定日期是個很簡單的事情，因為存在完善的日曆和時間系統，而且這條日曆和時間系統甚至是全球統一的。約定日子隻需遵照日曆即可。但是，在春秋之前的中國，那時尚無完備的日曆系統，而且在日常生活中漢字尚未被使用，因此，兩個人之間進行日期約定就非常困難，多人之間的日期約定更困難。甲骨文和金文都是祭祀工具，都是僅在祭祀領域使用。

那麼在沒有日曆的情況下，古人是怎麼實現日期約定的？答案是，使用結繩或書契，這兩種原始形态的契約。每一次時間約定就是簽訂一次契約。

如果兩個人之間約定30天之後去做某件事，那麼他們就在一對繩子上都打30個繩結，或者在一對書契上都刻30個契齒。然後從明天開始，每一個人在每天都打開一個繩結，或者劃掉一個契齒。那麼結繩或契齒為零的那一天，就是雙方開始行動的日子。這樣以來，數字零對雙方就是指令、命令，雙方必須遵從數字零所發出的指令。當然這是此前雙方約定的結果。

也就是說，在中國早期的契約式的日期約定機制中，最重要的日子就是所對應的數字為零的日子。對使用這種方式進行日期、時間管理的人們來說，最重要的數字就是零，而不是零之外的自然數。在這個機制的數學運算法則中，是要把零之前的自然數之間減掉，那些數字都是無用的。

甲骨文字形對用結繩約定日期的機制進行了詳細的記錄。上表是涉及的相關字例，這個列表摘自甲骨文中的結繩符号列表。我的一個基本觀點是，甲骨文是契約文字，對契約符号的繼承和借用是甲骨文的造字基礎，包括結繩符号、書契符号、大人符号，以及結繩書契共用符号，總數量110多個。這些符号不僅獨立成字，而且也是字形結構，滋生更多的字例。

而且這些設計結繩約定日期的甲骨文之間，還存在密切的邏輯關系，将整個流程清晰地呈現出來。請看下圖。

整體上，用結繩約定日期的方法和機制可以用“其”來指稱。甲骨文其字形的主體結構，是一對結繩，而且下端已經連接在一起，這用來表示這兩個跟結繩之間一體化的密切關系。這一對結繩整體上呈U形。U的中間用交差線，或等于線，來描述這兩根結繩上繩結的同步和對應關系。

甲骨文其加一個土字符，就是甲骨文基，這個的原始含義就是作為契約中介的大人。這個約定是在大人的調停和幫助下實現的。甲骨文“基”與“央”和“有”存在對應關系。甲骨文央和有的字形都是U形結構，這個U與“其”中的U，以及與“冉”中的倒U是同一個結構，都是指代一對結繩。“央”中的“大”就是作為契約中介的大人。甲骨文“有”中象“基”一樣也有一個土字符号，也是指代作為契約中介的大人。“有”的原始義項就是指契約的簽訂有大人來幫助和支撐，來作為契約的保障和基石。這意味着有些契約可能沒有契約中介，沒有大人。

關于作為契約中介的大人，我在上篇文章，以及更早的文章都作為比較詳細的解釋，這裡從略。

當約定日期的工作結束，契約雙方就分别拿着打着繩結的繩子回家。然後從第二天開始。每天解開一個繩結。對這個過程進行描述的就是甲骨文“冉”。

甲骨文“冉”的主體結構是倒U，指的是一對懸挂起來的結繩。中間的大大的箭頭，是說繩結要自下而上漸次解開。這樣繩子上最後一個繩結的位置，就逐漸上升。“冉冉升起”就是這麼來的。有時中間也會象“其”一樣加上一個交差符号，表示兩個繩子的關聯和同步。

需要指出的，在“冉”中，兩個結繩是連在一起的。但這隻是邏輯上如此，在實際上，兩根結繩是為契約雙方分别持有，分别挂在自己家裡，距離可能非常遙遠。在這種情況下，确保兩人每天都同步地解開一個繩結就非常重要，如果其中一個遺忘了，或者多解了，将會導緻最後日期約定的失敗。

為了強調在在約定期間，雙方解繩結的同步性，就專門早了一個字形形。一對呈倒V形懸挂的繩子，兩根繩的相同位置的繩結都被一根橫向貫穿。徐中舒将這個字釋讀為“絕”，這是錯誤的，如果非要找一個字與這個符号與對應，應該是“同”，或“其”比較合适。

當雙方繩子上的繩結同步性地隻剩下一個時，就來到約定時間間隔内的最後一天。專門有一個甲骨文字形來表示這一點：倒V的每隻分支上個有一個圓圈。圓圈指代繩結。

第二天，繩結将全部消失，繩結的個數為零，就是開始行動的日子。

零的甲骨文字形，是上面一個雨，下面是兩個或三個口。兩個口，之前契約雙方。三個口意味着是多方約定。

關于多方約定，也有一個專門甲骨文，就是“冓”，字形為兩個“冉”組成對稱結構。冓的意思顯然是指多方約定的契約結構。後來這個字加木成為結構的構。

甲骨文零字的上半部分是雨。但是，雨并非是一個象形文字，而是一個“借符-象得”文字：繼承和借用契約符号，其某個屬性與契約機制的某個屬性相似。

甲骨文雨中也有倒U結構，與“冉”中的倒U是一樣的，是結繩符号。甲骨文雨借用了“冉”的符号。之所以這麼借用，因為雨和冉有相似的地方。對于冉而言，是繩結全部解開之後，對人有用的時間才會到來。對雨而言，唯有雨滴落完，即雨停的時候，人們才能出來做事。

而且雨滴從天空的墜落，很像繩結的解除。其中“零”的有些甲骨文字例，就是直接用本來指代繩結的圓圈，代替雨滴的。整個字形很像對甲骨文終的接續：終中所剩餘的最後一個繩結也墜落了，此時繩結的數量就是零。

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