作者 | 孫清先

來源 |《科學大觀園雜志》

著名的數學大家都具有很高的數學史修養，他們取得的成就在很大程度上是從先輩聖賢那裡汲取了豐富的養分。

數學具有極高的曆史性與累積性，它與物理學、生理學等其他知識門類相比，隻存在拓展，不存在重大的修正，比如，希臘哲學家亞裡士多德提出的“地心說”觀點在托勒密撰寫的名著《天文學大成》的推動下，一度成為最好的天文學體系，其在西方天文學領域存在了1000多年，但是，随着天文觀測技術的不斷完善以及航海事業發展等諸多社會因素的推動，哥白尼質疑了托勒密的理論，于1539年寫出流傳千古的著作《天體運行論》，系統地論述了“日心說”理論。後來，牛頓發現了萬有引力，從而徹底推翻了托勒密的“地心說”理論，因為它是錯的。

在生理學領域，亞裡士多德認為人體的血管内充滿着“元氣”，也沒有給出元氣是如何運行的。直到199年，古羅馬醫生蓋倫肯定地認為人體血管裡充滿着血液而不是“元氣”，但他把血液看成是從肝髒産生一種東西，血液流經全身時，營養物質被身體各部分吸收，慢慢地被消耗掉了，它是朝一個方向運動，一去不複返。再到1628年，英國醫生哈維出版了名著《心血運動論》，在書中哈維認為人體的血液是循環流動的，它從心髒流出，經過動脈血管，流入靜脈血管，再回到心髒，血液在血管中不停地循環流動。恩格斯高度評價了哈維的貢獻：由于發現了血液循環而把生理學确立為科學。但是，結論還沒有得到驗證，到後來的1671年，伽利略發明了望遠鏡，意大利解剖學家馬爾比基将望遠鏡改成顯微鏡才将血液循環的全部路徑摸清楚，哈維的血液循環理論被科學地确定，等等。其他知識門類在發展的過程中，或多或少存在一邊修正，一邊發展。

數學是數學家在不斷地繼承與拓展中發展起來的，它的概念與思想不存在連根拔起和推倒重來，它是在具有很強包容性的環境中慢慢長成的。2600年前的“泰勒斯定理”到今天都是有效的，一樣起作用，一樣完美無瑕；再比如，在數系的發展與完善過程中，希帕蘇斯因為發現了無理數而被投入大海。在人類社會發展的2500年中，無理數存在的邏輯基礎沒有取得絲毫進展，直到歐拉将e寫成收斂的無限級數階乘，證明了e是無理數；蘭伯特利用正切函數可以展開為類似連分數的形式證明了圓周率是無理數，再到戴金德和康托兒建立實數理論後，無理數的邏輯結構才真正解決。

數學的發展所取得的每一個成果，都需要數學家幾十年、幾百年甚至上千年的努力才能邁出有意義的幾步，他們在迷霧中摸索前進時，有迷茫、有放棄、有鬥争，更有挫敗後散落于浩瀚天空中的不為人知，但，堅持者所取得的零零碎碎的成果終将使他們成為數學曆史天空中璀璨的群星，熠熠生輝。孩子如果能在閱讀數學家的心路曆程中感受到他們挫而不敗的精神，也将從他們身上獲得頑強拼搏、攻堅克難的勇氣。

微積分理論的建立凝聚了許多數學家的努力。起初，在實際應用層面，伽利略設計望遠鏡需要确定透鏡曲面上任意點的切線問題；确定行星運行掃過的面積又需要計算曲線長、曲邊圖形的面積等問題。解決這些問題的科學家有很多人，開普勒于1615年出版的《測量酒桶的新立體幾何》中，揭示了無窮小量方法和無窮小量求和的思想；笛卡爾在1637年出版的《幾何學》中用代數的方法讨論了光折射時法線的構造，推動了微積分早期的發展；1635年卡瓦列裡在《用新方法促進的連續不可分量的幾何學》一書中提出不可分量原理，使用無窮小的方法計算面積與體積；再後來，沃利斯在研究托裡拆利的《幾何運算》時，得出分數幂積分公式、無窮小分析的算術化等研究結果。在得到微積分理論這段道路上，從亞裡士多德開始，就有思想的萌芽，但是直到17世紀上半時期，先輩聖賢的涓涓細流終于彙向微積分這扇神奇的大門。最終，集大成者之一是1667年因疫情而離開劍橋大學到鄉下靜心創作的牛頓，另一位是萊布尼茨。牛頓的出發點是力學，是以速度為模型建立微積分學；萊布尼茨從幾何問題出發，運用分析法建立微積分。

微積分是人類智慧的一座高峰，是人類智慧的偉大結晶。恩格斯曾說：“在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發展那樣被看作人類精神的最高勝利了。”微積分的發明，促進了工業大革命，奠定了工業社會文明。有了它，數學能描述變化、描述運動，“祝融”号也就能如期到達火星。它在研究自然規律、社會規律時都起着非常重要的作用，對哲學，對人類文化也産生極其深遠的影響，是一種震撼心靈的智力奮鬥。

中小學生如果能知曉數學家良苦用心并感受到他們的思想，他們對科學執着的态度，他們追求美與真的的精神，相信定會感同身受，并收獲閱讀和學習數學的快樂，更能感知數學的真而使它變得無比美麗。

兒時的孩子，在數學方面都是一張白紙，在剛接觸數學時，他們會覺得他們學習的數學，仿佛是一下子蹦出來的，他們心中充滿了各種疑惑，學着學着也許就忘了這些疑惑，學習數學變成了死記硬背，丢失了對數學的好奇心。

比如，某些鳥類可以區分包含4種成分的集合，數感并非人類獨自擁有，但是，在漫長的曆史進程中，隻有人類能認識到一塊石子和一堆石子、一頭羊和一群羊、一棵樹和一片森林這些客觀事實中，存在某些共有的東西，它是唯一的，在一一對應後，抽象出這些客觀事實中唯一的共性就是數，不管是一塊石子、一頭羊，還是一棵樹，我們都用1這個符号表示，1稱為“數”。再比如，無理數的出現為什麼會引起數學發展的危機、虛數到底虛不虛？

牛頓與萊布尼茨之間關于微積分的發明而産生的恩恩怨怨、歐拉一邊抱着孩子，一邊筆耕不辍、鐘情翰墨，等等。這些疑問，人與事交織的過去都能讓孩子認識到數學的美、數學的真、數學的趣，從而産生學習數學的動力。盡早讓孩子了解數學思想的發源曆史，是學習這個科學非常重要而有意義的一步。

近代偉大的華人微分幾何學家陳省身曾說：“一個數學家的目的，是要了解數學。曆史上數學的進展不外乎兩個途徑——增加對已知材料的了解和推廣範圍。”龐加萊曾說：“如果我們想要預見數學的将來，适當的途徑是研究這門學科的曆史與現狀。”可見，對數學史的了解并逐步清晰是強基不可或缺的一部分，這樣的了解越早越好。

教育的目的不隻是為了讓每個人學到更多的知識，而是更多地懂得知識的來龍去脈，從而能夠轉化為自己遇到問題時的應對方法與處理能力。數學知識都明明白白地印在書上，隻要我們能識字，一天背誦許多頁都不是難事。但是，當我們知道在三維的黎曼幾何中，如果曲率等于零，則是歐幾裡得幾何；如果常曲率為正數，則是黎曼幾何；如果曲率為負數，則是羅巴切夫斯基幾何。在歐幾裡得幾何中，三角形的内角和是180°，在另外兩種幾何中，三角形的内角和卻不是180°。在這種體系化的理解下，一個人對幾何學的認知是通透的，有一種豁然開朗的感覺。

從“無知此岸”到“頓悟彼岸”的行進過程中，有時隻能走曲線，雖然曲線很漫長，但是，走過曲線的過程是有趣的，是有用的。這條曲線就隐藏在蜿蜒的尼羅河，富饒的美索不達米亞，長江與黃河沿岸的河谷曆史文化中；隐藏在測量廟宇與祭壇而拉着繩子的人的背影裡，隐藏在數學家的鬥争與挫敗中，它是無價的。而我們有時總覺得這樣做效率太低了，浪費了孩子的時間，還不如讓孩子多做一做題呢。但做了那麼多題後，孩子發現自己不知為什麼要做那麼多的題，我們的出發點也不僅僅是為了多做一道題。

讀讀歐拉，他是所有人的老師。

作者：孫清先（電子工業出版社有限公司），編輯出版方向為數學文化、數學閱讀、數學簡史、自然科學等科普類讀物，緻力于保護和激發孩子們好奇心的科普推廣工作，曾策劃編輯出版《數學在哪裡修訂版》、《奇妙的數學在這裡》和《我超喜歡的趣味數學書》等。

◎特約審稿 李文林

◎美術編輯 張婷婷

◎文章來源 科學大觀園雜志

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!