俗話說，萬物皆可傅裡葉！

傅裡葉變換在物理學、數論、組合數學、信号處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域，都有着廣泛的應用。到底什麼是傅裡葉變換？看完這個形象展示傅裡葉變換的視頻你就明白了。

學習傅裡葉變換需要面對大量的數學公式，數學功底較差的同學聽到傅裡葉變換就頭疼。事實上，許多數學功底好的數字信号處理專業的同學也不一定理解傅裡葉變換的真實含義，不能做到學以緻用。

目前，傅裡葉變換的相關運算已經非常成熟，有現成函數可以調用。對于絕大部分隻需用好傅裡葉變換的同學，重要的不是去記那些枯燥的公式，而是理解傅裡葉變換的含義及意義。

本文試圖不用一個數學公式，采用較為通俗的語言深入淺出的闡述傅裡葉變換的含義、意義及方法，希望大家可以更加親近傅裡葉變換，用好傅裡葉變換。

偉大的傅裡葉、偉大的争議

1807年，39歲的法國數學家傅裡葉于法國科學學會上展示了一篇論文（此時不能算發表，該論文要到21年之後發表），論文中有個在當時極具争議的論斷：“任何連續周期信号可以由一組适當的正弦曲線組合而成”。這篇論文，引起了法國另外兩位著名數學家拉普拉斯和拉格朗日的極度關注。

58歲的拉普拉斯贊成傅裡葉的觀點。71歲的拉格朗日（貌似現在的院士，不用退休）則反對，反對的理由是“正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信号” 。屈服于朗格朗日的威望，該論文直到朗格朗日去世後的第15年才得以發表。之後的科學家證明：傅裡葉和拉格朗日都是對的。

有限數量的正弦曲線的确無法組合成一個帶有棱角的信号，然而，無限數量的正弦曲線的組合從能量的角度可以非常無限逼近帶有棱角的信号。

傅裡葉變換的定義

後人将傅裡葉的論斷進行了擴展：滿足一定條件的函數可以表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。如何得到這個線性組合呢？這就需要傅裡葉變換。

一定條件是什麼呢？

這是數學家研究的問題，對于大多數搞電參量測量的工程師而言，不必關注這個問題，因為，電參量測量中遇到的周期信号，都滿足這個條件。

這樣，在電參量測量分析中，我們可以用更通俗的話來描述傅裡葉變換：任意周期信号可以分解為直流分量和一組不同幅值、頻率、相位的正弦波，分解的方法就是傅裡葉變換。并且，這些正弦波的頻率符合一個規律：是某個頻率的整數倍。這個頻率，就稱為基波頻率，而其它頻率稱為諧波頻率。如果諧波的頻率是基波頻率的N 倍，就稱為N 次諧波。直流分量的頻率為零，是基波頻率的零倍，也可稱零次諧波。

傅裡葉變換的意義

1. 為什麼要進行傅裡葉變換呢？

傅裡葉變換是描述信号的需要。隻要能反映信号的特征，描述方法越簡單越好。信号特征可以用特征值進行量化。

所謂特征值，是指可以定量描述一個波形的某種特征的數值。全面描述一個波形，可能需要多個特征值。比如說：正弦波可以用幅值和頻率兩個特征值全面描述；方波可以用幅值、頻率和占空比三個特征值全面描述（單個周期信号不考慮相位）。

上述特征值，我們可以通過示波器觀測實時波形獲取，稱為時域分析法。事實上，許多人都習慣于時域分析法，想要了解一個信号時，一定會說：“讓我看看波形！”可是，除了一些常見的規則信号，許多時候給你波形看，你也看不明白。複雜的不講，看看下面這個波形，能看出道道嗎？

我們能看到的僅僅是一個類似正弦波的波形，其幅值在按照一定的規律變化。如何記載這個波形的信息呢？尤其是量化的記載，很難。

事實上，上述波形采用傅裡葉變換後，就是一個50Hz的正弦波上疊加一個40Hz的正弦波，兩者幅度不同，40Hz的幅度越大，波動幅度就越大，而波動的頻率就是兩者的差頻10Hz（三相異步電動機疊頻溫升試驗時的電流波形）。

再看一個看似簡單的波形：

這個波形有點像正弦波，但是比正弦波尖，俗稱“尖頂波”，多見于變壓器空載電流輸入波形。

我們很難準确定量其與正弦波的區别。采用傅裡葉變換後，得到下述頻譜（幅值譜）：

主要包括3、5、7、9次諧波，一目了然。

傅裡葉變換是一種信号分析方法，讓我們對信号的構成和特點進行深入的、定量的研究。把信号通過頻譜的方式（包括幅值譜、相位譜和功率譜）進行準确的、定量的描述。這就是傅裡葉變換的主要目的，現在我們知道傅裡葉變換的目的了， 剩下的問題——請繼續往下看。

2、為什麼傅裡葉變換要把信号分解為正弦波的組合，而不是方波或三角波？

其實，如果張三能夠證明， 任意信号可以分解為方波的組合，其分解的方法不妨稱為張三變換；李四能夠證明，任意信号可以分解為三角波的組合，其分解的方法也可以稱為李四變換。

傅裡葉變換是一種信号分析的方法。既然是分析方法，其目的應該是把問題變得更簡單，而不是變得更複雜。傅裡葉選擇了正弦波，沒有選擇方波或其它波形，正好是其偉大之處！

正弦波有個其它任何波形（恒定的直流波形除外）所不具備的特點：正弦波輸入至任何線性系統，出來的還是正弦波，改變的僅僅是幅值和相位。即，正弦波輸入至線性系統，不會産生新的頻率成分（非線性系統如變頻器，就會産生新的頻率成分，稱為諧波）。用單位幅值的不同頻率的正弦波輸入至某線性系統，記錄其輸出正弦波的幅值和頻率的關系，就得到該系統的幅頻特性，記錄輸出正弦波的相位和頻率的關系，就得到該系統的相頻特性。

線性系統是自動控制研究的主要對象，線性系統具備一個特點，多個正弦波疊加後輸入至一個系統，輸出是所有正弦波獨立輸入時對應輸出的疊加。也就是說，我們隻要研究正弦波的輸入輸出關系，就可以知道該系統對任意輸入信号的響應。這就是傅裡葉變換的最主要的意義。

如何求傅裡葉變換？

文章開始就說了，具體求傅裡葉變換，有成熟的函數可供調用。本文隻講述如何理解傅裡葉變換的思想，如果你掌握了這個思想，不用再記公式，也不用去調用什麼函數，自己編個簡單程序就可實現。就算你不會編程，隻要你學過三角函數，至少可以理解傅裡葉變換的過程。

傅裡葉的偉大之處不在于如何進行傅裡葉變換，而是在于給出了“任何連續周期信号可以由一組适當的正弦曲線組合而成”這一偉大的論斷。知道了這一論斷，隻要知道正弦函數的基本特性，變換并不難，不要記公式，你也能實現傅裡葉變換！

正弦函數有一個特點，叫做正交性，所謂正交性，是指任意兩個不同頻率的正弦波的乘積，在兩者的公共周期内的積分等于零。這是一個非常有用的特性，我們可以利用這個特性設計一個如下的檢波器（下稱檢波器A）：

檢波器A由一個乘法器和一個積分器構成，乘法器的一個輸入為已知頻率f 的單位幅值正弦波（下稱标準正弦信号f），另一個輸入為待變換的信号。檢波器A的輸出隻與待變換信号中的頻率為f 的正弦分量的幅值和相位有關。

待變換信号可能包含頻率為f 的分量（下稱f 分量），也可能不包含f 分量，總之，可能包含各種頻率分量。一句話，待變換信号是未知的，并且可能很複雜！

沒關系，我們先看看，待變換信号是否包含f 分量。因為其它頻率分量與标準正弦信号f 的乘積的積分都等于零，檢波器A 可以當它們不存在！經過檢波器A，輸出就隻剩下與f 分量有關的一個量，這個量等于待變換信号中f 分量與标準正弦信号f 的乘積的積分。

很容易得到的結論是：如果輸出不等于零，就說明輸入信号包含f 分量！

這個輸出是否就是f 分量呢？答案：不一定！正弦波還有下述的特性：

相同頻率的正弦波，當相位差為90°時（正交），在一個周期内的乘積的積分值等于零；當相位相同時，積分值達到最大，等于兩者的有效值的乘積，當相位相反時，積分值達到最小，等于兩者的有效值的乘積取反。

我們知道标準正弦信号f 的初始相位為零，但是，我們不知道f 分量的初始相位。如果f 分量與标準正弦信号f 的相位剛好差90°（或270°），檢波器A 輸出也等于零。為此，我們再設計一個檢波器B：

檢波器B 與檢波器A 的不同之處在于，檢波器B用一個标準餘弦信号f（與标準正弦信号A 相位差90°）替代濾波器A 中的标準正弦信号f。如果待變換信号中包含f 分量，檢波器A 和檢波器B 至少有一個輸出不等于零。

利用三角函數的基礎知識可以證明，不論f 分量的初始相位如何，檢波器A 和檢波器B 輸出信号的幅值的方和根就等于f 分量的幅值；而檢波器B 和檢波器A 的幅值的比值等于f 分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f 分量的相位。

我們再把标準正弦信号f 和标準餘弦信号f 的頻率替換成我們關心的任意頻率，就可以得到輸入信号的各種頻率成分。如果知道輸入信号的頻率，把這個頻率作為基波頻率f0，用f0、2f0、3f0 依次替代标準正弦信号f 和标準餘弦信号f 的頻率，就可以得到輸入信号的基波、2次諧波和3次諧波。

這就是傅裡葉變換。什麼？不會積分？沒有關系，實際上，在諧波檢測儀、電能質量分析儀等各類電參量測量儀器中，現在用的都是基于交流采樣的離散傅裡葉變換，在離散信号處理中，累加就是積分！

傅裡葉變換就是這麼簡單，你學會了嗎？

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