今天我向大家介紹一下《幾何原本》比較特别的二倍角定理以及如何隻用尺規作正五邊形。

二倍角定理是《幾何原本》第4卷“與圓有關的直線圖形的作法”中的第10個命題，在二倍角定量後面的4個命題都是有關正五邊形的命題證明，都需要用到二倍角定理。

下面是二倍角定量的證明過程:

證明:

1、任取一條線段AB，在AB上取一點C，使以AB和BC為邊所構成的矩形面積等于以CA為邊的正方形面積。（第2卷 命題11）具體詳見我的文章《《幾何原本》-幾何代數的基本原理（2）-命題1~命題14》。

2、以A為圓心、AB為半徑作圓BDE。

3、作圓BDE的拟合線BD，使BD=AC。（第4卷 命題1）

4、連接AD和DC，作三角形ACD的外接圓ACD。（第4卷 命題5）

5、因為以AB和BC為邊所構成的矩形面積等于以CA為邊的正方形面積，AC=BD，所以以AB和BC為邊所構成的矩形面積等于以BD為邊的正方形面積，于是BD與圓ACD相切。（第3卷 命題37）

6、因為BD與圓相切，DC是過切點D的圓的拟合線，所以角BDC等于相對弓形上的角DAC。（第3卷 命題32）

7、因為角BDC=角DAC，兩邊同時加上角CDA，所以角BDA=角CDA 角DAC。

8、又因為外角BCD=角CDA 角DAC（第1卷 命題32），所以角BDA=角BCD。

9、又因為AB=AD，所以角BDA=角CBD。（第1卷 命題5）

10、所以角BCD=角CBD，于是DB=DC。（第1卷 命題6）

11、又因為BD=CA，所以DC=CA，所以角CDA=角CAD（第1卷 命題5）

12、所以角CDA與角CAD的和是角DAC的二倍，又角BCD=角CDA 角CAD，于是角BCD是角DAC的二倍。

13、又因為角BCD=角BDA=角DBA，所以角BDA和角DBA都是角DAB的二倍。

14、所以等腰三角形ABD的底邊BD上的每個角都是頂角的二倍。

證明完畢。

以下是作圖過程：

步驟1：任取一條線段AB，延長BA至a。

步驟2：以A為圓心，AB為半徑作圓與Ba相交于b，此時bA=AB。

步驟3：去除多餘的輔助線，此時bA=AB。

步驟4：以b為圓心，bB為半徑作圓；以B為圓心，Bb為半徑作圓。兩圓相交于c、d，連接cd與bB相交于A點。

步驟5：去除多餘的輔助線。

步驟6：以A為圓心，AB為半徑作圓，交Ad于e。分别以e、B為圓心，eA、BA為半徑作圓，兩圓交于f，連接ef、fB。

步驟7：去除多餘的輔助線，此時AefB是正方形。

步驟8：以A為圓心，Ae為半徑作圓；以e為圓心，eA為半徑作圓，連接兩圓交點所形成的直線與Ae相交于g點。

步驟9：去除多餘的輔助線，此時AefB是正方形，g是Ae中點。

步驟10：延長eA至h，以g為圓心，gB為半徑作圓，圓與eh相交于i。

步驟11：去除多餘輔助線。

步驟12：以A為圓心，Ai為半徑作圓，圓與AB相交于C。

步驟13：以A為圓心，AB為半徑作圓；以B為圓心，AC長度為半徑作圓，兩圓相交于D。

步驟14：連接AD、CD、BD。

步驟15：去除多餘輔助線，此時在三角形ABD中，角ABD=角ADB=2角A。此時我們已經完成了作圖任務。

步驟16：以D為圓心，DA為半徑作圓，兩圓相交于j、k，連接jk。

步驟17：以A半徑，AC為圓心作圓；以C為圓心，CA為半徑作圓，兩圓相交于im。連接im，im與jk相交于n。

步驟18：去除多餘輔助線。

步驟19：以n為圓心，nC為半徑作圓ACD。

步驟20：去除多餘的輔助線，，此時在三角形ABD中，角ABD=角ADB=2角A，BD與圓ACD相切于D點。

已知ABCDE是給定圓。

目标:作圓ABCDE的内接等邊且等角的五邊形。

證明:

1、作一個等腰三角形FGH，使角G和角H都是角F的二倍。（第4卷 命題10）

2、在圓ABCDE内作内接三角形ACD，使它與三角形FGH等角，即角CAD=角F，角ACD=角G，角ADC=角H。（第4卷 命題2）

3、所以角ACD和角ADC都是角CAD的二倍。

4、作角ACD和角ADC的角平分線，分别為CE和DB。（第1卷 命題9）

5、連接AB、BC、DE和EA。

6、因為角ACD和角ADC都是角CAD的二倍，且直線CE和DB平分兩角，所以角CAD=角ACE=角ECD=角CDB=角BDA。

7、又因為相等的角所對的弧也相等（第3卷 命題26），所以五條弦AB、BC、CD、DE和EA彼此相等。（第3卷 命題29）

8、因此五邊形ABCDE是等邊的。

9、因為弧AB=弧DE，兩邊同時加上弧BCD，所以整個弧ABCD=整個弧EDCB，又因為角AED是弧ABCD所對的角，角BAE是弧EDCB所對的角，所以角AED=角BAE。（第3卷 命題27）

10、同理，可證角AED=角BAE=角ABC=角BCD=角CDE。

11、所以五邊形ABCDE是等邊且等角的。

證明完畢。

以下是作圖過程：

步驟1：作任意一條直線，與已知圓相交于a、b。

步驟2：以a為圓心，ab為半徑作圓，以b為圓心，ba為半徑作圓。

步驟3：連接兩圓的兩個交點，延長并與已知圓相交于c、C，此時cC是已知圓的直徑。

步驟4：去除多餘的輔助線，此時cC是已知圓的直徑。

步驟5：以C為圓心作任意圓，該圓與cC所在直線相交于e、f。

步驟6：以e為圓心，ef為半徑作圓，以f為圓心，fe為半徑作圓。連接兩圓交點與已知圓相切于C點。

步驟7：去除多餘輔助線，延長已知圓切線兩邊至h、i。

步驟8：獲取命題10中的圖形，去除多餘的輔助線，将三角形ABD重命名為FHG，于是角H=角G=2角F。

步驟9：以C為圓心，以給定三角形FGH的邊FG（或FH）長度為半徑作圓（淺藍色）與hi右側交于j點。

步驟10：以j為圓心，以給定三角形FGH的邊HG長度為半徑作圓（深藍色）與淺藍色圓上部相交于k點。

步驟11：連接Ck與已知圓相交于D點，連接kj。此時三角形Ckj全等于三角形FHG，于是角kCj=角F。

步驟12：去除多餘輔助線，此時角DCi=角F。

步驟13：以C為圓心，以給定三角形FGH的邊HG長度為半徑作圓（淺藍色）與hi左側交于l點。

步驟14：以l為圓心，以給定三角形FGH的邊FG長度為半徑作圓（深藍色）。

步驟15：以C為圓心，以給定三角形FGH的邊FH長度為半徑作圓（粉紅色）與深藍色圓上部相交于m點。

步驟16：連接Cm、lm。此時三角形mCi全等于三角形FHG，于是角mCl=角H。

步驟17：去除多餘輔助線，角mCh=角H。

步驟18：延長Cm與已知圓相交于A，此時角D=角ACh=角H，角A=角DCi=角F，角ACD=角G。于是角D=角ACD=2角A。

步驟19：以C為圓心作任意圓與CA、CD相交于n、o兩點。

步驟20：以n為圓心，nC為半徑作圓；以o為圓心，oC為半徑作圓。連接兩圓交點，交點連線經過C點且平分角ACD。

步驟21：延長兩圓交點連線與已知圓相交于點E，去除多餘輔助線，CE平分角ACD。

步驟22：以D為圓心作任意圓與DA、CD相交于p、q兩點。

步驟23：以p為圓心，pq為半徑作圓；以q為圓心，qp為半徑作圓。連接兩圓交點，交點連線經過D點且平分角ADC。

步驟24：延長兩圓交點連線與已知圓相交于點B，去除多餘輔助線，DB平分角ADC。

步驟25：連接AB、BC、AE、ED，此時ABCDE是圓的内接正五邊形。

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