解決高考數學空間幾何二面角的問題，最燒腦的一步就是找到二面角的平面角。那麼有沒有一種簡單粗暴的方法，可以不用找二面角的平面角，直接就把問題解決了呢？那當然是有的了，這就是老黃今天要分享的“建立空間坐标系，利用向量運算的方法”。以下面的這道高考數學空間幾何二面角相關的真題為例：

如圖, 在四棱錐E-ABCD中, AB//CD, AD=CD=BC=AB/2, E在以AB為直徑的半圓(不包括端點)，平面ABE⊥平面ABCD，M, N分别為DE，BC的中點.

(1)求證：MN//平面ABE；

(2)當四棱錐E-ABCD體積最大時，求二面角N-AE-B的餘弦值.

【第一小題隻要注意，BCDE不是一個平面就可以了，否則就很容易出錯。注意B,C,D三點在平面ABCD上，沒有兩個平面存在三個不在同一直線上的公共點的】

(1)證明：過N作NF//AB，交AD于F，

連接MF, 則MF//AE,

∴平面FMN//平面ABE，

∵MN⊂平面FMN, ∴MN//平面ABE.

【第二小題直接建系，不過建系的技巧，以及如何求二面角的平面角的餘弦的知識也是要掌握才能做到的。這裡要運用“二面角的平面角等于兩個平面的法向量之間的夾角”的定理】

(2)解：當點E是弧AB的中點時，四棱錐E-ABCD體積最大，【因為此時四棱柱的高最大，底面積不變】

取AB的中點O為原點建系(如上圖)，設AD=CD=BC=1，則AB=2，【設AD=a，則解題過程很麻煩，設AD為整體1，則解題過程容易出錯，老黃選擇後者】

B(0,1,0), A(0,-1,0), E(1,0,0), N(0,3/4,根号3/4),

【下面插入一段求N點坐标的過程：

過C作CF⊥AB于F, 過N作NG⊥AB于G,則BF=OF=CD/2=1/2,

∴GF=BF/2=1/4, FC=根号3BF=根号3/2,

GN=FC/2=根号3/4,OF GF=3/4

所以N(0,3/4,根号3/4),如果你願意的話，可以把這段寫在前面。】

向量AE=(1,1,0), 向量AN=(0,7/4,根号3/4)【求法向量，隻需要平面内的兩個有交點的向量就夠了】

設平面ANE的法向量為n=(x,y,z),

則向量n向量AE=x y=0, 向量n向量AN=7y/4 根号3z/4=0,【因為法向量與平面垂直，所以垂直于平面内的直線，兩個向量的積就等于0】

任取x=根号3, 則y=-根号3, z=7,【x可以任取，因為任取法向量上的一點，并不影響後面的運算】

可取平面BAE的法向量m=(0,0,1),【因為平面BAE是水平平面，所以法向量是z軸】

記二面角N-AE-B為α, 則coα=向量m向量 n/(|向量m||向量n|)=7根号55/55. 【求兩個向量夾角的餘弦，這個公式要牢記】

這個方法，雖然看起來也沒有那麼簡便，但是它勝在直接，不需要過多的思考，沒有那麼燒腦，掌握并且熟悉了，高中數學中是可以幫大忙的。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!