有理數與無理數分别包括什麼?有理數是指一個整數a和一個非零整數b的比，即一個比值而非“有道理”的數那麼，有理數有多少呢？約公元前580年至公元前500年間，畢達哥拉斯學派認為“萬物皆為數”，即宇宙的一切現象都能用有理數來表示，可見有理數之多然而，該學派的弟子希伯索斯的驚人發現，第一次向人們揭示了有理數的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在着不能用有理數表示的“空隙”，而這些“空隙”就是無理數那麼無理數有多少？與有理數比較，誰更多？下面從三個方面進行比較：，接下來我們就來聊聊關于有理數與無理數分别包括什麼?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

有理數與無理數分别包括什麼

有理數是指一個整數a和一個非零整數b的比，即一個比值而非“有道理”的數。那麼，有理數有多少呢？約公元前580年至公元前500年間，畢達哥拉斯學派認為“萬物皆為數”，即宇宙的一切現象都能用有理數來表示，可見有理數之多。然而，該學派的弟子希伯索斯的驚人發現，第一次向人們揭示了有理數的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在着不能用有理數表示的“空隙”，而這些“空隙”就是無理數。那麼無理數有多少？與有理數比較，誰更多？下面從三個方面進行比較：

一、直觀感覺比較

常見的無理數有：①非完全平方數的平方根，如

，

，

，···；②圓周率

；③自然對數的底數e。事實上，我們還可以構造更多的無理數，如

（其中

\{0}），

（其中

且

）等等。直覺告訴我們，無理數要比有理數多，而且多很多。

二、通過基數比較

有理數在實數中是處處稠密的，即在數軸上任何小區間中都有有理數存在（并且有無窮多個）。盡管如此，有理數集是可列集，即全體有理數還隻不過是一個和那樣稀疏分布着的整數全體成為1—1對應的可列集，基數為N0。我們知道，在衆多的無限數集中，最小的基數便是N0，而實數集具有連續基數c，可見無理數集合也有連續基數c。而c和N0的關系可由Cantor-Bernstein定理：

來說明。顯然，從數量角度，無理數要比有理數多得多。

那麼，無理數比有理數多多少呢？下面從測度角度進行說明。

三、通過測度比較

我們以閉區間[0,1]中的有理數和無理數為例。顯然該區間的長度為1，即[0,1]中的有理數和無理數構成的區間長度的總和為1。而[0,1]中的有理數的Lebesgue外測度為0，那麼該區間的無理數的Lebesgue外測度為1。從長度角度，無理數比有理數多的程度由此可見。

通過三個方面的比較，我們知道無理數比有理數多。而且通過衡量閉區間[0,1]中的有理數和無理數的Lebesgue外測度，使我們更形象地了解到無理數比有理數多的程度。

作者：北京二中亦莊學校 邢丹本作品為“科普中國-科學原理一點通”原創 轉載時務請注明出處

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