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正方形裡4個扇形求陰影面積

生活 更新时间:2025-04-27 09:43:59
一、題目

如圖是小斌為自己所在的數學興趣小組設計的LOGO,其設計過程如下:畫邊長為2的正方形ABCD,分别以B、C為圓心,BC長為半徑畫弧交于點E,以BC為直徑在正方形内部畫半圓,并将半圓和兩條弧圍成的區域填充陰影,則圖中陰影部分的面積為_________.

正方形裡4個扇形求陰影面積(如何求正方形中三個扇形交叉所成陰影部分的面積)1

二、分析與解答

求圖形陰影面部分通常有3種方法,對于規則圖形,可直接套用面積公式求解,對于不規則圖形,又有兩種處理方法:割補法和等積變換,其目的都是把不規則圖形轉化為規則圖形。

本題中的圖形為不規則圖形,需要轉化為規則圖形,問題是怎樣轉化呢?

正方形裡4個扇形求陰影面積(如何求正方形中三個扇形交叉所成陰影部分的面積)2

如上圖,陰影部分的面積就等于總面積減去半圓的面積,半圓的面積很好求,關鍵在于怎樣求BCE這個不規則圖形的面積.

正方形裡4個扇形求陰影面積(如何求正方形中三個扇形交叉所成陰影部分的面積)3

這個不規則圖形與什麼圖形長得比較像?扇形!它可以看作兩個扇形重疊在一起,所以它的面積就等于兩個扇形面積之和減去重疊部分的面積,而重疊部分正好是一個等邊三角形.

正方形裡4個扇形求陰影面積(如何求正方形中三個扇形交叉所成陰影部分的面積)4

∴S陰影=2S扇形BCE-S△BCE-S半圓

=2×1/6π×2^2-√3/4×2^2-1/2π×1^2

=5π/6-√3

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