在數學幾千年的發展曆程上，曾發生過三次動搖數學根基的危機，其中每一次都曾使得人們尤其是數學家懷疑數學的合理性，然而經過無數數學家的力挽狂瀾，這三次危機不僅沒有讓數學失去其合理性，反而使其變得更加強大。

第一次數學危機

“萬物皆數”是古希臘畢達哥拉斯學派堅不可摧的信仰。所謂“萬物皆數”就是指任何的實數都可以表示為兩個整數的比值。然而學派引以為傲的畢達哥拉斯定理（也就是我國俗稱的勾股定理）卻恰恰成了其信仰的終結者。

畢達哥拉斯學派中的一個“好事之徒希伯斯（Hippasu）對學派堅守的“萬物皆數”首先表示了懷疑。他思考了一個問題：邊長為1的正方形其對角線有多長呢？一番思索演算之後，他發現這一長度既不是整數，也不是分數，“萬物皆數”的信仰就此崩塌。相傳惱羞成怒的學派成員将希伯斯淹死在了海裡，真理不僅沒有給他榮譽反而招緻殺身之禍，可悲亦可歎！

自被希伯斯發現之後，√2這個數學史上的第一個無理數便登上了舞台。然而這一發現不但是對畢達哥拉斯學派的緻命打擊，對于當時所有古希臘人的觀念都是巨大的沖擊。更為惱火的是，面對這一打擊，人們手足無措，于是便直接導緻了人們認識上史無前例的危機，從而導緻了西方數學史上一場浩大的風波，史稱“第一次數學危機”。

第二次數學危機

自微積分被發明之後，質疑之聲就從未消停過。相當長的時間内，數學界對“無窮小”這一概念的理解和使用都是非常混亂的，但微積分理論的基礎卻恰恰就是“無窮小分析”。這一理論上的缺陷招緻了巨大的抨擊，英國大主教更是直接稱“無窮小”為盤旋的幽靈。如果這一危機無法解除，那無數由微積分理論所獲得的成果都将遭受無情的質疑。這也就是數學史上的第二次危機。

轉機出現在柯西，魏爾斯特拉斯等人用極限的方法定義無窮小量之後，這時微積分理論經過發展和完善才真正具有了嚴格的理論基礎，從而使得數學大廈變得更加堅實牢固可靠，危機便也解除。

第三次數學危機

“數學狂人”康托一手所發展的集合論作為現代數學的基礎早已是數學界的共識。然而在1903年，集合論被發現是有漏洞的！這一發現就像在平靜的水面上投下了一塊巨石，它所引起的巨大反響則導緻了第三次數學危機。英國數學家羅素就是這一危機的“始作俑者”。

羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。之後羅素提出問題：S是否屬于S呢？根據邏輯學上的排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據S的定義，S就屬于S。所以無論如何都會産生矛盾！一時間，數學家為之恐慌，看似數學大廈即将樯傾楫摧不複存焉。第三次數學危機便自此爆發。

但頑強的數學家不會就此罷手，他們希望通過改造康托的集合論以便消除悖論。1908年，策梅羅提出了第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱之為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷，然而也并非完美無瑕。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。相關的改進工作時至今日也為停下腳步。

總結來說，三次數學危機就是關于無理數，無窮小，羅素悖論的危機。但“危機”恰正好是“生機”，三次數學危機極大地促進了數學的嚴格化發展，使之成為了真正嚴謹的科學。

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