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微積分如何固定體積求最大表面積

生活更新时间:2024-10-06 04:29:05

在幾何學中，規則圖形的面積和體積非常容易計算，我們在初高中都已經掌握了這些基本的計算公式，如下圖像所示

微積分如何固定體積求最大表面積（用微積分來計算不規則圖形的體積）1

當涉及到曲面時，一般公式的計算方法就會統統失效，這時就需要微積分的知識來完成，如下是一個不規則的曲面，要計算它的體積，一般公式是無法計算的

微積分如何固定體積求最大表面積（用微積分來計算不規則圖形的體積）2

這裡我們不是将其分割成無限多的矩形，而是将其分割成無限多的薄片，每個薄片都是一個二維區域，這給我們的計算提供了可能

微積分如何固定體積求最大表面積（用微積分來計算不規則圖形的體積）3

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從最簡單的球體出發，在水平方向上，我們可以将這個圓切成無限多的薄片，每個圓薄片的半徑都對應一個y值

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即A=πy^2

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因為圓的面積是πr^2，但球體的的半徑是不變的，所以我們可以根據勾股定理作一個直角三角形，得到y=r^2-x^2 如下圖所示

微積分如何固定體積求最大表面積（用微積分來計算不規則圖形的體積）7

這樣就與x建立了聯系，且區間是(-r, r)，因為球體關于y軸對稱，所以根據微積分原理我們就得到如下結論

微積分如何固定體積求最大表面積（用微積分來計算不規則圖形的體積）8

這樣最終就得到了球的體積

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所以無限的二維平面的疊加，就是三維物體的體積，但需要微積分作為橋梁

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我們繼續延伸，如下是一個X^1/2圖形繞x軸旋轉産生的不規則物體，如何來計算它的體積呢？

微積分如何固定體積求最大表面積（用微積分來計算不規則圖形的體積）11

同樣采用疊加所有橫截面來進行計算

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但這裡的半徑r是X^1/2，所以有關橫截面積就是πX

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這樣我們就得到了（0,1）區間上該物體的體積，如下圖所示

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這些偉大的發現都是基于牛頓和萊布尼茲的發現

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