A QUARK

扯閑篇兒

上周我們講了皮亞諾公理，這周繼續講講加法交換律

數學歸納法

數學歸納法就是皮亞諾第五公理，它是這麼寫的

公理5：假定P(n)是自然數的一個性質，如果P(0)是對的，且假定P(n)是正确的，則P(n')也是真的，那麼命題對所有自然數都為真。

為什麼可以這麼說呢，根據前幾個公理，自然數是以0為起點，一個接一個的。如果假定n有某個性質時，可證n'也有此性質。能證明0有這個性質，那麼就可以證明0'也有此性質，0''也有，0'''也有，就能證明所以自然數都有這一性質。

2

開始證明之前，回顧一下我們對于加法的定義：

定義加法是滿足以下兩種規則的運算：

1. 對于任意自然數m，0 m = m

2. 對于任意自然數m和n，n' m = (n m)'

與大上周一樣，

這次的證明也分

一，證明：

對自然數m，m 0=m

已知0 m=m但并不能由此直接得出m 0=m，我們還并不知道加法交換律。我們可以用數學歸納

∵0 m=m；0是自然數

∴0 0=0

現假定n 0=n

根據加法定義

n' 0=（n 0）'=n'

∴對任意自然數m，均有m 0=m

證畢

二，證明：

對任意自然數n和m，n m'=（n m）'

依然用數學歸納法

對n進行歸納，當n=0時

根據加法定義

0 m'=（0 m）'

假定n m'=（n m）'，

求證n' m'=（n' m）'

根據加法定義

n' m'=(n m')'=[（n m）']'

（n' m）'=[（n m）']'

∴n' m'=（n' m）'

證畢

三，證明：

對任意自然數n和m，n m=m n

對n進行歸納，

首先考慮當n=0時，

0 m=m，m 0=m

∴0 m=m 0成立，

假設n m=m n成立

求證：（n'） m=m （n'）

∵n m=m n

（假設）

∴（m n）‘=（n m）’

（皮亞諾公理4）

∵n‘ m=（n m）’

(加法定義)

m n‘=（m n）’

（證明2）

∴n‘ m=m n’

∴對任意自然數n、m，均有n m=m n

證畢

關注誇克歐氏幾何

Don't worry. Be happy!

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