sinx/x的極限x趨近于0，結果等于1。這是第一個重要極限，你可能每天都在用，因為它在高等數學中的應用非常廣泛，用得特别多，但你對它的了解有多少？真正了解它了嗎？
這個極限用極限的定義非常麻煩。所以一般都是用夾逼定理，又稱為極限的迫斂性來證明的。
當x在0到二分之π之間時，有重要的不等式sinx<x<tanx，因此在這個區間上，不等式的三個式子同時除以sinx，得到1<x/sinx<1/cosx. 同時取倒數可以得到cosx<sinx/x<1。
又cos(-x)=cosx, sin(-x)/(-x)=sinx/x，即由偶函數的性質，可以知道當x在負二分之π到0之間時，依然有cosx<sinx/x<1。從而，當x在U0(0,π/2)的空心鄰域上時，cosx<sinx/x<1。而cosx在x趨于0時的極限為1，1的極限自然也為1了。由極限的迫斂性，就有sinx/x在x趨近于0的極限也等于1.
而當我們學到無窮小以及等階無窮小的知道時，我們可以由sinx與x是同階無窮小，直接得到sinx/x在x趨于0時，它的極限等于1的結論。不過你也可以說，我們是由這個極限等于1推出sinx與x是等階無窮小的，所以不能使來反推。
其實并不是這樣的，因為sinx和x在x=0的導數都等于1，所以它們是等階。這又牽連出另一個重要的求極限方法 ，就是關于導數的洛必達法則。對于0比0型的極限，我們可以對分子分母同時求導，以求得極限的值。
最後是在這個極限的應用上，我們見得最多的就是換元法的應用。比如求sin2x/(2x)在x趨于0時的極限。隻需令t=2x，則有當x趨于0時，t也趨于0，因此sin2x/(2x)=sint/t在t趨于0時，它的極限也等于1. 再變化一下，求sin2x/x在x趨于0時的極限，那麼可以把函數化為2sin2x/(2x)，就有原極限等于2x。
另外，sinx/x和x/sinx在x趨于0時，它們的極限是相等的，但不能說他們是同一個極限。因為，當x趨于無窮時，前者等于0，後者的極限并不存在。
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