撰文 比鄰星

春節假期，獨樂樂不如衆樂樂。

如果要選擇一種聲音代表新春佳節的團聚，除了噼裡啪啦的鞭炮、杯盞相碰的清脆，一句“三缺一”和麻将桌上嘩啦啦的搓麻聲必定占有一席之地。

麻将在不同段位的玩家眼中代表着不同維度的世界。入門級小白隻專注于面前的牌，久經沙場的老手更有大局觀，心中裝着整個牌桌的乾坤。而在一名理科生眼中，麻将是一場概率遊戲和策略博弈。

19世紀的麻将牌長這樣 | 圖源：Wiki

不過話說回來，還真有數學家發表了關于“麻将數學”的研究論文，不僅編寫程序計算胡牌的概率，更是緻力于開發AI打麻将的技能。當然，機器人怎麼打麻将倒是後話了，對于各位玩家而言，這些研究最大的價值在于能給麻将桌上的牌局以“專業”的理論指導。

故事還要從清一色講起。

先補充點背景知識。标準麻将牌包含“筒”、“條”、“萬”、“風”和“箭”五套花色，每種牌有4張是相同的。4名玩家初始摸得13張牌，之後按照逆時針摸一張牌再打出一張牌，直到他摸到最後一張牌，14張牌可以湊成23333的排列組合，即為胡牌。

從上到下分别為“筒”、“條”、“萬” |圖源：Wiki

用公式表示就是

m*AAA n*ABC DD m，n可以為0

如果最終胡牌的牌面為同一花色，就叫清一色。

一個叫李志光的數學家發現了一種有趣的牌形。

好牌

圖源：Mathematical aspects of the combinatorial game “Mahjong”

仔細看，你會發現下一張隻要摸到的也是筒，不管是一筒到九筒中的哪一張，都可以胡牌。這牌，隻要一推倒，衆人定有不明覺厲之感。

這樣的牌形叫“九門”（Nine Gate）, 李志光随後聯想到，類似的“八門”、“七門”、“六門”……都有什麼樣的牌形，哪種出現的概率更高？

至此開始，一個娛樂問題成功上升為科研課題，行話叫“k門問題”。

用數學符号代表剛才的牌形，那就是

X1X1X1X2X3X4X5X6X7X8X9X9

計算概率，大體的思路就是嘗試所有Xi的組合，然後檢驗每種組合是否符合k門的要求。這樣的重複性運算，交給Python程序就夠了。

一段源代碼截圖網址鍊接：

https://cklixx.people.wm.edu/mathlib/Mahjong.py

結果是這樣的。“九門”的組合有且僅有一種，它出現的概率為0.000113；八門有16種；一門的組合則有14067種，出現的概率是0.148。

k門問題隻是個開始，發現能用數學方法研究麻将，另一個團隊也躍躍欲試。他們關注到的問題是——如何判斷距離胡牌還差幾張牌？研究結果整理為論文《來玩麻将啊！》（Let’s play Mahjong!）

都是科研論文，這篇的畫風就很可愛

這個問題很實用了，理解了其中奧義，你也能擁有牌局的大局觀。來看看他們是怎麼算的。

首先需要用數學語言定義每一種牌形。他們選擇了一對數字（c, n），c表示花色，0為條、1為萬，2為筒；n表示具體的數字。比如（0, 3）就是三條，（1, 5）就是五萬。

（2,7）和（2,5）| 圖源：flicker

接下來設置一段數列V，即14個（c, n）的集合，用來表示完整的牌面。這時你就可以用邏輯語言定義出胡牌（complete）的條件。

最後一步是設計一個變量，定量地表示牌面的好壞。研究者引入了“缺牌數”的定義，也就是距離運算到胡牌狀态，還差幾張牌。

接下來的運算結果請收好，這是一份科學的打牌秘籍。

基礎版——清一色

如果你已經湊出了兩個“3連”（包括刻子和順子），且它們不連續，那麼缺牌數小于等于2；

如果你的牌面是以下兩種情況之一，那麼缺牌數為3

5個對子 一個杠；

5個對子 1個刻子 1張單牌

進階版——多花色

對于任意組合的一副牌，最大缺牌數為6。要置換6張牌才能胡的牌面就是最爛的牌；

如果你的牌面是以下3種情況之一，那麼缺牌數小于等于5

兩個不連續的“3連”（包括刻子和順子）；

一個“3連”和一個“準3連”（隻需要碰一下或者吃一個就能湊出刻子或順子）；

4個“準3連”

面對具體的牌面時，置換麻将牌的方案不止一種，此時需綜合考慮缺牌數和胡牌成本，以及方案的可行性。

舉個栗子,如果你的牌面是這樣的，那麼你可以考慮3種搭配方案

先把牌碼上，看起來順眼一些。

第一種方案裡，“準3連”B1B3還差一張B2（二條），但是整副牌中已經沒有多餘的二條，因此這種方案無效。方案二和方案三都是可行的，但是方案三的缺牌數更小，所以更優。

作為中國的經典傳統遊戲，麻将的玩家覆蓋率在整個遊戲江湖遙遙領先。不同地區有不同的打法。幾分技巧、幾分運氣，還有好幾分的樂趣。這種獨特的牌類遊戲也慢慢漂洋過海，傳入了包括歐美國家在内的世界許多地方。還有研究證實，麻将的益智作用有益于阿爾茨海默病患者。

美國的娃們在課外活動課上學習打麻将 |圖源：Wiki

當然，專業的科學家費勁編寫程序來還原麻将的遊戲規則，初衷倒不是為各位玩家搞一套打牌指南，而是為了開發人工智能。畢竟圍棋高手阿爾法狗和阿爾法零相繼橫空出世，麻将高手機器人也指日可待。

問：圖中有幾個人在打麻将？|圖源：unsplash

各位麻将高手，你期待和機器人PK的那天嗎？

無标注圖片來源網絡。

參考資料:

1.Yuan Cheng, Chi-Kwong Li, and Sharon H. Li. Mathematical aspect of the combinatorial game “Mahjong”. ArXiv:1707.07345, 2017.

2.Sanjiang Li, Xueqing Yan.Let’s Play Mahjong!arXiv:1903.03294v1

來源：把科學帶回家

編輯：Eric

來源： 中科院物理所

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