看了在《今日頭條》上發布的關于《空間群國際符号》一文的展現，閱讀和相關數據後，感覺效果還可以，有的朋友有這個需要，促使作者繼續寫《晶體的宏觀對稱性》。

在日常生活中，大家知道對稱性，常接觸到的是對稱面和對稱心。晶體的對稱性要比上述的多。常見的例子也有一些。如完整雪花，具有6次對稱性，源于冰的晶體結構具有6次對稱性。雪花主枝間角距離是60度，主枝與側枝之間夾角也是60度。以前食用的大粒鹽呈立方體顆粒，面、角、棱、頂都各自有對稱性。有對稱心，對稱面，3次對稱，4次對稱。粒狀單晶冰糖，呈現晶體結構對稱性很顯明，成為帶有特定對稱切面的單斜晶系晶胞形狀。天然寶石（指金剛石）等價的面、棱、角，頂各自都有對稱性，例如三角正方的十四面體，有對稱心，對稱面，3次對稱，4次對稱。既使加工成珠寶工藝品也是沿對稱關系加工，使其光彩奪目。單晶體在性能上，包括力、電、光、聲等各種性能各向異性，且具有和形狀相一緻的對稱性。這就是晶體的宏觀對稱性。宏觀對稱性産生根源是晶體結構的微觀對稱性，是晶體結構微觀對稱性在宏觀顯現。但有區别，前者是一塊晶體的對稱性，即單晶對稱性。後者是具有周期性晶體結構的對稱性，因為晶體結構具有周期性，旋轉軸可以伴随平移，形成螺旋軸。對稱面可以伴随平移形成滑移面。本文隻講宏觀對稱性。這種對稱性不會有平移，但不同對稱要素可以相交于一點，形成點群。

晶體結構的微觀對稱性，被事實所驗證被數學所證明，由于晶體結構的周期性，即平移性，對應着晶格，晶體結構中可允許存在的對稱性是特定的，隻能是1次、2次、3次、4次、6次對稱性，沒有5次和6次以上的對稱性。就是說5次和6次以上的對稱性和周期性即平移性相矛盾，是不能存在的。既然宏觀對稱性是微觀對稱性宏觀顯現，同樣原因，單晶體沒有5次和6次以上的宏觀對稱性。

晶體宏觀對稱要素有兩大部分。一部分是旋轉軸，另一部分是旋轉反演軸，即旋轉同時伴随反演。強調一句，不是旋軸軸加反演。

旋轉軸

旋轉軸對稱要素和對稱操作不用圖了，讀者也能理解。

1次旋轉軸。設定一點，用逗号代表（以下同）。這個點可以代表晶體的面、棱、角，直至任何一點。繞軸旋轉360度後回到原位，即起始的逗号，逗号尾巴方向與起始完全相同。用通俗話說就是沒有對稱性，等效點是1個。1次旋轉軸的國際符号就是“1”。

2次旋轉軸，對稱操作還是以逗号為起始點，繞旋轉軸旋轉180度後遇到同樣的一個尾巴方向完全相同的另一個逗号，再轉180度回到起始點。2次旋轉軸分布着具有2次軸對稱關系的兩個等價點，國際符号為“2”。

3次旋轉軸，對逗号進行旋轉操作，繞旋轉軸轉120度後，遇到與第一個方向形狀相同的第2個逗号。再轉120度，對起始點來說轉過240度，又遇到完全相同的第3個逗号。再轉過120度回到起始點。3次旋轉軸的等價位置分布着3個具有3次對稱關系的等價點，國際符号為“3”。

同樣，4次旋轉軸和6次旋轉軸也作如上表述。不同的是4次旋轉軸每次轉角90度，360度分布着具有同樣形狀和方位的4個等價點。而6次旋轉軸每次旋轉60度，360度分布着6個同樣的等價點。4次和6次旋轉軸國際符号分别用“4”和“6”表示。

旋轉反演軸

旋轉反演軸描述比較麻煩，必須用圖。讀者也會感覺麻煩，可試試，不看文中叙述，直接看圖，就當遊戲，看懂就可以了。作者還是必須叙述。仍然以逗号表示具有對稱關系等價點。

1次旋轉反演軸，使逗号繞軸旋轉360度，回到原位，不停，繼而對軸上某一點作反演操作，如圖1所示。

圖（1），1次旋轉反演軸即對稱心示意圖

即從點1反演到點2。1次旋轉反演軸等價于對稱中心。有兩個互為反演關系的等價點，對稱心在兩點連線中點。1次旋轉反演軸國際符号用（-1）表示（标準寫法是一扛打在1的頭頂上，以下同。），對稱心慣用符号以C表示。

2次旋轉反射軸。如圖（2）所示。

圖（2），2次旋轉反演軸即對稱面操作圖

起始點1旋轉180度到點2位置，不停，繼而反演到點3位置，遇到與點1位置具有反映關系的第2個逗号。再旋轉180度，到4位置，不停，反演回到1位置，完成2次旋轉反演軸操作。從圖中可以看到，2次旋轉反演軸等價于對稱面。形成互為反映關系的兩個等價點。對稱面國際符号用m表示。

3次旋轉反演軸。如圖3所示

圖（3），3次旋轉反演軸對稱操作示意圖

從點1始，繞軸旋轉120度，到5位置，不停，對反演中心反演到2位置，遇到第2個逗号。再旋轉120度，到6位置，不停，對反演中心反演到3位置，遇到第3個逗号。再旋轉120度，到1位置，不停，對反演中心反演，到點4位置，遇到第4個逗号。再旋轉120度到2的位置，不停，對反演中心反演到5位置，遇到第5個逗号。再旋轉120度到3位置，不停，對反演中心反演到6的位置，遇到第6個逗号。繼續上述操作，經4位置回到1位置，完成3次旋轉反演軸對稱操作。3次旋轉反演軸有6個等價點。國際符号為（-3）。

4次旋轉反演軸，如圖（4）所示。

圖（4），4次旋轉反演軸對稱操作圖

起始逗号1，旋轉90度，到2的位置，不停，繼而過對稱心反演到3的位置，遇到具有反演關系的第2個逗号。再旋轉90度到4的位置，不停，繼而過對稱心反演到5的位置，遇到第3個逗号。再旋轉90度，到6位置，不停，過對稱心反演到7的位置，遇到等4個逗号。繼續旋轉90度經8位置反演回到1位置，完成4次旋轉反演軸對稱操作。4次旋轉反演軸有4個等價點。國際符号用（-4）表示。

6次旋轉反演軸，如圖（5）所示。

圖（5），6次旋轉反演軸對稱操作圖

6次旋轉反演軸對稱操作，從逗号1開始，旋轉60度，到2的位置，不停，作對稱心反演到3的位置，遇到第2個逗号。再繞軸旋轉60度到4的位置，不停，反演到5的位置遇到第3個逗号。再旋轉60度到6的位置，不停，反演到7的位置，遇到第4個逗号。再旋轉60度到8的位置，不停，反演到9的位置遇到第5個逗号。再旋轉60度到10的位置，不停，反演到11位置遇到笫6個逗号。接着再旋轉60度，繼而反演，回到起始點1的位置，完成6次旋轉反演軸對稱操作。有6個等價點。上面3個尾巴朝上的逗号與下面3個尾巴朝下的逗号，等價于以對稱面操作的反映關系。如圖（5）中所示對稱面。從圖中的對稱關系還可以看出，上面3點與下面3點各自又都符合3次旋轉軸對稱關系。所以6次旋轉反演軸等價于3次旋轉軸和一個垂直該軸的對稱面的共同作用。這可是對稱面和3次旋轉軸相加關系。

上述的對稱性就是宏觀晶體（單晶）所具有的對稱性。有的單晶可以是某一種旋轉軸單獨存在，更多的是不同旋轉軸的組合。如前面所提到的，這種組合相交于一點，形成點群。同樣經數學家證明，並由晶體存在的實際對稱性所驗證，有32種點群。用這種宏觀對稱性把晶體分類，稱為32種晶類。點群是宏觀對稱性形成的群。晶類是按點群分類的晶體，名稱與點群符号相同。

本文在下面可以粗略的說一下點群的形成。讀者為節省時間可以不看，跨過去。知道有這些組合形成就可以了。

單一旋轉軸有5種點群，單一旋轉反演軸有5種點群，共計10種點群。

旋轉軸的不同組合有6種。

将上述10種單軸點群和6種旋轉軸組合點群加上對稱心，又形成3種點群。已有對稱心的點群，加與不加不産生新點群。

将旋轉軸組合的點群用旋轉反演軸替換，形成10種點群。

将對稱心加到上述沒有對稱心點群上，又産生3種點群。共32種點群。

關于點群符号，是由小寫英文字母和數字構成。說得通俗一點，點群符号就是把空間群所有平移部分去掉，即去掉代表晶格的大寫英文字母，将含螺旋軸的空間群的螺旋軸轉變為同軸次旋轉軸。将含滑移面的空間群的滑移面轉換為對稱面，結果就是點群國際符号。留下這個問題，請讀者想想這樣轉換的道理。

用時可以查表。而且從晶體結構空間群符号立刻可以得到晶體的點群，晶類。

由空間群符号提取點群符号舉幾個例子，供讀者參考。

P（-1）空間群，（-1）點群，（-1）晶類。（括号是加上去的，正規表達一杠應在數字的頭頂上，以下同。）

P2（1）／c（14）空間群，2／m點群。2／m晶類。（2（1）正規寫法括号中的“1”應是下腳标，以下同。）

Pbnm（62）空間群，mmm點群，mmm晶類。

R（-3）c（167）空間群，（-3）m點群，（-3）m晶類。

I4（1）／amd（141）空間群，4／mmm點群，4／mmm晶類。

P6（3）／mmc（194）空間群，6／mmm點群，6／mmm晶類。

Fm3m（225）空間群，m3m點群，m3m晶類。

Fd3m（227）空間群，m3m點群，m3m晶類。

F（-4）3m（216）空間群，（-4）3m點群，（-4）3m晶類。

從晶體點群和空間群關系，又可以從晶體結構空間群國際符号知道晶體的點群，進而知道晶類以及具有的對稱性。對晶體的性能研究，包括應用制備加工等都有重要意義。

本文到此結束，我們共同學習，謝謝閱讀。

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