鴨爪定理之二

1、已知H為△ABC垂心，D在△ABC外接圓O上，DH中垂線交AB、AC于E、F。

求證：AEDF共圓；

這是鐵一中學生蔣若曦問我的一個問題，不太确定出處。此題條件簡潔，結論優美。證明又不太容易。是一個難得的好題。

思路分析一：此題難在如何描述垂心H及DH中垂線EF。特别是中垂線，很難利用。

經過一段時間探索，看到DH中點G，我突然想到垂心的一個重要性質——斯坦納定理（參加《鴨爪定理之一》），由此定理得D對△ABC西姆松線過G，然後通過共圓即可得到結果。

證明一：如下圖，作DI⊥BC于I,DJ⊥AB于J,

由斯坦納定理知GIJ共線。

由垂直得DJEG、DBJI共圓，

故∠DEF=∠DJI=∠DBC=∠DAC,

則AEDF共圓。

對于這個證明，我不是太滿意，感覺其過于依賴斯坦納定理，對于不知道此定理的人似乎不可能做出來。考試中，遇到此題，嚴格書寫解答的時候，必須要先證明斯坦納定理作為引理，直覺上覺得此證明應該繞了彎路。但我一時又沒想出來其他的辦法證明。這個題就一直記挂在我的腦海中。直到有一天，我用鴨爪定理解決了一個相關的問題。聯想到這個題目，又重新從鴨爪定理角度重新審視這個問題，發現可以用鴨爪定理給出一個相對簡單的證明。

思路二：設CH交圓O于H’，由鴨爪定理及中垂線得△DHH'外心，由圓心角及圓周角關系倒角即可證明。

證明二：作H關于AB對稱點H',由EF為DH中垂線知E為△DHH'外心；

由鴨爪定理知H'在圓O上且CHH'共線，

由圓心角為圓周角兩倍知

∠DEF=∠HED=∠CH'D=∠DAC，

則AEDF共圓

注：證法二中想到鴨爪定理，發現外心，巧妙倒角，證明明顯自然簡潔了許多。

後來我又對此問題進行了推廣，得到以下命題：

2、 已知H為△ABC垂心，D在△ABC外接圓上，D、D'關于BC對稱，P在D'H上，PD中垂線交AB、AC于E、F；

求證：A,E,D,F共圓；

思路分析：此題是上題推廣，解題思路當然應該也是類似。

斯坦納定理似乎不好做了。自然選擇利用鴨爪定理。

如法炮制延長CH交圓于H'，則H、H'關于AB對稱。

類似作出P關于AB的對稱點P'，同理得到E為△DPP'外心。

延長HD'交AB于L，從而

A,E,D,F共圓<=>∠DAF=∠DEF

<=>∠DH’C=0.5∠DEP

<=>∠DH'H=∠DP'P,

<=>DLH'共線。這樣就能消去P，得到下圖。

由D、D'關于BC對稱得

∠BD'C=∠BDC=180°-∠BAC=∠BHC,

故BD'HC共圓，從而

∠LH'H=∠D'HH'=∠D'BC=∠DBC=∠DH'C,

則DLH'共線。從而結論成立。

注：知道此題來源，對本題證明很有啟發性，基本證明思路也是一脈相承的。

3、已知△ABC外接圓為圓O，H為其垂心，D在外接圓上，DH中垂線交AB于K，

求證：∠AKO=∠DAC

思路分析一：看到K在DH中垂線上，我對斯坦納定理比較熟悉，自然聯想到它。

與上題類似得到D的西姆松線過DH中點M，

又由△DKH∽△DOC可得△DKO∽△DHC，

以下倒角即可得到結果

證明一：作DI⊥AB，DJ⊥BC，設IJ交DH于M，由斯坦納定理知M為DH中點，

KM⊥DK，由垂直得DBIJ,DIKM共圓，則∠DOC=2∠DBC=2∠DIM=2∠DKM=∠DKH,

則△DKH∽△DOC，由旋轉相似性質得△DKO∽△DHC；

又CH//DI，則∠DKO=∠DHC=∠HDI=∠AKM,

則∠AKO=∠MKD=∠MID=∠DBC=∠DAC.

思路二：類似上題，可以考慮用鴨爪定理繞開斯坦納定理，簡潔的證明本題。延長CH交圓O于H’，由鴨爪定理得KH=KH’，故K為△DHH’外心，則OK⊥H'D，倒角即得。

證明二：延長CH交圓O于H’，由鴨爪定理得KH=KH’

則K為△DHH'外心，

又H'D為兩圓公共弦，故OK⊥H'D,

故∠AKO=∠DH'C=∠DAC。

注：對比以上連個證明顯然證法一繞到了第一題中的斯坦納定理及第一題的解法，略顯複雜。證法二由鴨爪定理另辟蹊徑，繞開第一題，迅速解決了本題。

4、已知：O、H為△ABC外心、垂心，D、E在ＡＢ上，且ＡＤ＝ＢＥ，

P、Q在外接圓上，且AP//OD,PQ//BC,

求證：EQ=EH （公衆号“我們愛幾何” 20080208 作者：老封）

思路分析：初看本題，似乎比較陌生，不好入手。仔細分析發現似乎和上題有聯系。進一步探索發現其實是上題的逆命題，從而可以類似證法二迅速證明本題。

證明：延長CH交圓O于H’，

由鴨爪定理得KH=KH’，

由QP//BC得∠QH'C=∠BAP,

又由AD=BE及OD//AP得

∠DEO=∠ODE=∠PAB=∠QH'C,

又CH'⊥AB，故QH'⊥OE,

由垂徑定理得EH'=EQ,

即EH=EQ。

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