級數的收斂性數學分析?在上一期，我們講解了判别級數收斂的一般方法比較原則比較原則用一句話來大的級數收斂，小的級數也收斂；小的級數發散，大的級數也就發散，我來為大家科普一下關于級數的收斂性數學分析?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

級數的收斂性數學分析

在上一期，我們講解了判别級數收斂的一般方法比較原則。比較原則用一句話來大的級數收斂，小的級數也收斂；小的級數發散，大的級數也就發散。

今天我們接着來講解級數收斂判别方法的第二方法比式判别法。

取一個正項級數 ，在11月3日的文章《考研數學數項級數及其收斂》中，我們已經講了，一個級數 收斂的前提條件是。

借助這個前提條件，你可以思考一下，級數 中的每一項 滿足什麼條件時，正項級數 收斂？

我們假設第一種情況，當 時

你覺得它收斂嗎？我覺得它不收斂。

因為 是正項級數，所以 全都都大于0。

如果，那麼。

所以，當時， 發散。

我們再看一下第二種情況，當 時

你覺得它收斂嗎？我覺得它還不收斂，但是有一種情況除外，那就是。

你肯定會想“如果 都是無窮小量，那麼 ， 不就收斂了嗎？”。其實，事實并非如此。因為無窮多個無窮小量相加就是無窮大量。因為積少成多。一張紙的厚度大約是0.1毫米，0.1毫米和你的身高相比微不足道，但是将一張張紙疊起來肯定能超過你的身高，這就是為什麼無窮多個無窮小量相加就是無窮大量。

所以，當 且 時，

發散。

我們最後看一下第三種情況，當 時

這個肯定收斂不要問為什麼，因為它如果不能，那麼今天講的都是廢話。

因為 是正項級數，所以肯定會有。

根據數列極限的定義，我們可以得到：

對于任意一個正數ε，總是存在一個正整數N，當n＞N時，有這樣一個式子成立

由于，所以如果能在0與1之間存在一個正數q，使得

從而，≤

進而，

所以，=

=(等比數列求和)

在級數當中n是趨近于無窮大的，又因為0＜q＜1，所以

因此，=

所以， 收斂。

由于N是一個确定的數，所以 可以求出結果

再根據數項級數收斂比較原則可知， 收斂。

所以，我們可以得到這樣一個結論：

設為正項級數，且存在某正整數N及常數q（0＜q＜1）

(1)若對一切n＞N，成立不等式，則級數 收斂；

（2）若對一切n＞N,成立不等式，則級數 發散。

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