數學公式，是表征自然界不同事物之數量之間的或等或不等的聯系，它确切的反映了事物内部和外部的關系，是我們從一種事物到達另一種事物的依據，使我們更好的理解事物的本質和内涵。

如一些基本公式

抛物線：y = ax * bx c

就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c

a > 0時開口向上

a < 0時開口向下

c = 0時抛物線經過原點

b = 0時抛物線對稱軸為y軸

還有頂點式y = a（x h）* k

就是y等于a乘以（x h）的平方 k

-h是頂點坐标的x

k是頂點坐标的y

一般用于求最大值與最小值

抛物線标準方程：y^2=2px

它表示抛物線的焦點在x的正半軸上，焦點坐标為（p/2,0） 準線方程為x=-p/2

由于抛物線的焦點可在任意半軸，故共有标準方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

圓：體積=4/3（pi）（r^3）

面積=（pi）（r^2）

周長=2（pi）r

圓的标準方程 （x-a）2 （y-b）2=r2 注：（a,b）是圓心坐标

圓的一般方程 x2 y2 Dx Ey F=0 注：D2 E2-4F>0

（一）橢圓周長計算公式

橢圓周長公式：L=2πb 4（a-b）

橢圓周長定理：橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長（2πb）加上四倍的該橢圓長半軸長（a）與短半軸長（b）的差。

（二）橢圓面積計算公式

橢圓面積公式： S=πab

橢圓面積定理：橢圓的面積等于圓周率（π）乘該橢圓長半軸長（a）與短半軸長（b）的乘積。

以上橢圓周長、面積公式中雖然沒有出現橢圓周率T，但這兩個公式都是通過橢圓周率T推導演變而來。常數為體，公式為用。

橢圓形物體 體積計算公式橢圓 的 長半徑*短半徑*PAI*高

三角函數：

兩角和公式

sin（A B）=sinAcosB cosAsinB sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA

cos（A B）=cosAcosB-sinAsinB cos（A-B）=cosAcosB sinAsinB

tan（A B）=（tanA tanB）/（1-tanAtanB） tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1 tanAtanB）

cot（A B）=（cotAcotB-1）/（cotB cotA） cot（A-B）=（cotAcotB 1）/（cotB-cotA）

倍角公式

tan2A=2tanA/（1-tan2A） cot2A=（cot2A-1）/2cota

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sinα sin（α 2π/n） sin（α 2π*2/n） sin（α 2π*3/n） …… sin[α 2π*（n-1）/n]=0

cosα cos（α 2π/n） cos（α 2π*2/n） cos（α 2π*3/n） …… cos[α 2π*（n-1）/n]=0 以及

sin^2（α） sin^2（α-2π/3） sin^2（α 2π/3）=3/2

tanAtanBtan（A B） tanA tanB-tan（A B）=0

四倍角公式：

sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1））

cos4A=1 （-8*cosA^2 8*cosA^4）

tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2 tanA^4）

五倍角公式：

sin5A=16sinA^5-20sinA^3 5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3 5cosA

tan5A=tanA*（5-10*tanA^2 tanA^4）/（1-10*tanA^2 5*tanA^4）

六倍角公式：

sin6A=2*（cosA*sinA*（2*sinA 1）*（2*sinA-1）*（-3 4*sinA^2））

cos6A=（（-1 2*cosA^2）*（16*cosA^4-16*cosA^2 1））

tan6A=（-6*tanA 20*tanA^3-6*tanA^5）/（-1 15*tanA^2-15*tanA^4 tanA^6）

七倍角公式：

sin7A=-（sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7 64*sinA^6））

cos7A=（cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4 64*cosA^6-7））

tan7A=tanA*（-7 35*tanA^2-21*tanA^4 tanA^6）/（-1 21*tanA^2-35*tanA^4 7*tanA^6）

八倍角公式：

sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*（-8*sinA^2 8*sinA^4 1））

cos8A=1 （160*cosA^4-256*cosA^6 128*cosA^8-32*cosA^2）

tan8A=-8*tanA*（-1 7*tanA^2-7*tanA^4 tanA^6）/（1-28*tanA^2 70*tanA^4-28*tanA^6 tanA^8）

九倍角公式：

sin9A=（sinA*（-3 4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4 36*sinA^2-3））

cos9A=（cosA*（-3 4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4 36*cosA^2-3））

tan9A=tanA*（9-84*tanA^2 126*tanA^4-36*tanA^6 tanA^8）/（1-36*tanA^2 126*tanA^4-84*tanA^6 9*tanA^8）

十倍角公式：

sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2 2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*（-20*sinA^2 5 16*sinA^4））

cos10A=（（-1 2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6 304*cosA^4-48*cosA^2 1））

tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2 126*tanA^4-60*tanA^6 5*tanA^8）/（-1 45*tanA^2-210*tanA^4 210*tanA^6-45*tanA^8 tanA^10）

·萬能公式：

sinα=2tan（α/2）/[1 tan^2（α/2）]

cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1 tan^2（α/2）]

tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]

半角公式

sin（A/2）=√（（1-cosA）/2） sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）

cos（A/2）=√（（1 cosA）/2） cos（A/2）=-√（（1 cosA）/2）

tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1 cosA）） tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1 cosA））

cot（A/2）=√（（1 cosA）/（（1-cosA）） cot（A/2）=-√（（1 cosA）/（（1-cosA））

和差化積

2sinAcosB=sin（A B） sin（A-B） 2cosAsinB=sin（A B）-sin（A-B）

2cosAcosB=cos（A B）-sin（A-B） -2sinAsinB=cos（A B）-cos（A-B）

sinA sinB=2sin（（A B）/2）cos（（A-B）/2 cosA cosB=2cos（（A B）/2）sin（（A-B）/2）

tanA tanB=sin（A B）/cosAcosB tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB

cotA cotBsin（A B）/sinAsinB -cotA cotBsin（A B）/sinAsinB

某些數列前n項和

1 2 3 4 5 6 7 8 9 … n=n（n 1）/2 1 3 5 7 9 11 13 15 … （2n-1）=n2

2 4 6 8 10 12 14 … （2n）=n（n 1） 1^2 2^2 3^2 4^2 5^2 6^2 7^2 8^2 … n^2=n（n 1）（2n 1）/6

1^3 2^3 3^3 4^3 5^3 6^3 …n^3=（n（n 1）/2）^2 1*2 2*3 3*4 4*5 5*6 6*7 … n（n 1）=n（n 1）（n 2）/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑

餘弦定理 b2=a2 c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角

乘法與因式分 a2-b2=（a b）（a-b） a3 b3=（a b）（a2-ab b2） a3-b3=（a-b（a2 ab b2）

三角不等式 |a b|≤|a| |b| |a-b|≤|a| |b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b √（b2-4ac）/2a -b-√（b2-4ac）/2a

根與系數的關系 x1 x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韋達定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的兩實根

b2-4ac>0 注：方程有兩個不相等的個實根

b2-4ac<0 注：方程有共轭複數根

公式分類 公式表達式

圓的标準方程 （x-a）2 （y-b）2=r2 注：（a,b）是圓心坐标

圓的一般方程 x2 y2 Dx Ey F=0 注：D2 E2-4F>0

抛物線标準方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱側面積 S=c*h 斜棱柱側面積 S=c'*h

正棱錐側面積 S=1/2c*h' 正棱台側面積 S=1/2（c c'）h'

圓台側面積 S=1/2（c c'）l=pi（R r）l 球的表面積 S=4pi*r2

圓柱側面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側面積 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r

錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱體積 V=S'L 注：其中，S'是直截面面積， L是側棱長

柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2h

圖形周長 面積 體積公式

長方形的周長=（長 寬）×2

正方形的周長=邊長×4

長方形的面積=長×寬

正方形的面積=邊長×邊長

三角形的面積

已知三角形底a，高h，則S＝ah/2

已知三角形三邊a,b,c,半周長p,則S＝ √[p（p - a）（p - b）（p - c）] （海倫公式）（p=（a b c）/2）

和：（a b c）*（a b-c）*1/4

已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C，則S＝absinC/2

設三角形三邊分别為a、b、c，内切圓半徑為r

則三角形面積=（a b c）r/2

設三角形三邊分别為a、b、c，外接圓半徑為r

則三角形面積=abc/4r

已知三角形三邊a、b、c,則S＝ √{1/4[c^2a^2-（（c^2 a^2-b^2）/2）^2]} （“三斜求積” 南宋秦九韶）

| a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 |

【| a b 1 |

| c d 1 | 為三階行列式，此三角形ABC在平面直角坐标系内A（a,b），B（c,d）， C（e,f），這裡ABC

| e f 1 |

選區取最好按逆時針順序從右上角開始取，因為這樣取得出的結果一般都為正值，如果不按這個規則取，可能會得到負值，但不要緊，隻要取絕對值就可以了，不會影響三角形面積的大小！】

秦九韶三角形中線面積公式：

S=√[（Ma Mb Mc）*（Mb Mc-Ma）*（Mc Ma-Mb）*（Ma Mb-Mc）]/3

其中Ma,Mb,Mc為三角形的中線長。

平行四邊形的面積=底×高

梯形的面積=（上底 下底）×高÷2

直徑=半徑×2 半徑=直徑÷2

圓的周長=圓周率×直徑=

圓周率×半徑×2

圓的面積=圓周率×半徑×半徑

長方體的表面積=

（長×寬 長×高＋寬×高）×2

長方體的體積 =長×寬×高

正方體的表面積=棱長×棱長×6

正方體的體積=棱長×棱長×棱長

圓柱的側面積=底面圓的周長×高

圓柱的表面積=上下底面面積 側面積

圓柱的體積=底面積×高

圓錐的體積=底面積×高÷3

長方體（正方體、圓柱體）

的體積=底面積×高

平面圖形

名稱 符号 周長C和面積S

正方形 a—邊長 C＝4a

S＝a2

長方形 a和b——邊長 C＝2（a b）

S＝ab

三角形 a,b,c——三邊長

h——a邊上的高

s——周長的一半

A,B,C——内角

其中s＝（a b c）/2 S＝ah/2

＝ab/2?sinC

＝[s（s-a）（s-b）（s-c）]1/2

＝a2sinBsinC/（2sinA）

1 過兩點有且隻有一條直線

2 兩點之間線段最短

3 同角或等角的補角相等

4 同角或等角的餘角相等

5 過一點有且隻有一條直線和已知直線垂直

6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7 平行公理 經過直線外一點，有且隻有一條直線與這條直線平行

8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9 同位角相等，兩直線平行

10 内錯角相等，兩直線平行

11 同旁内角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13 兩直線平行，内錯角相等

14 兩直線平行，同旁内角互補

15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊

16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊

17 三角形内角和定理 三角形三個内角的和等于180°

18 推論1 直角三角形的兩個銳角互餘

19 推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和

20 推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的内角

21 全等三角形的對應邊、對應角相等

22邊角邊公理（sas） 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23 角邊角公理（ asa）有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24 推論（aas） 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25 邊邊邊公理（sss） 有三邊對應相等的兩個三角形全等

26 斜邊、直角邊公理（hl） 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 （即等邊對等角）

31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）

35 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形

36 推論 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那麼它所對的直角邊等于斜邊的一半

38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42 定理1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43 定理 2 如果兩個圖形關于某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線 44定理3 兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上

45逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關于這條直線對稱

46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2 b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2 b^2=c^2 ，那麼這個三角形是直角三角形

48定理 四邊形的内角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形内角和定理 n邊形的内角的和等于（n-2）×180°

51推論 任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等

54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1 兩組對角分别相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2 兩組對邊分别相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角

61矩形性質定理2 矩形的對角線相等

62矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質定理1 菱形的四條邊都相等

65菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即s=（a×b）÷2

67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質定理1 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71定理1 關于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分

73逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那麼這兩個圖形關于這一點對稱

74等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等

79 推論1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80 推論2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 l=（a b）÷2 s=l×h

83 （1）比例的基本性質 如果a:b=c:d,那麼ad=bc 如果ad=bc,那麼a:b=c:d

84 （2）合比性質 如果a／b=c／d,那麼（a±b）／b=（c±d）／d

85 （3）等比性質 如果a／b=c／d=…=m／n（b d … n≠0），那麼 （a c … m）／（b d … n）=a／b

86 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

87 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例

88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行于三角形的第三邊

89 平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例

90 定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 兩角對應相等，兩三角形相似（asa）

92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93 判定定理2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（sas）

94 判定定理3 三邊對應成比例，兩三角形相似（sss）

95 定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似

96 性質定理1 相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

97 性質定理2 相似三角形周長的比等于相似比

98 性質定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方

99 任意銳角的正弦值等于它的餘角的餘弦值，任意銳角的餘弦值等

于它的餘角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的餘角的餘切值，任意銳角的餘切值等于它的餘角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的内部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌迹，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌迹，是着條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌迹，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌迹，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109定理 不在同一直線上的三點确定一個圓。

110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那麼它們所對應的其餘各組量都相等

116定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所 對的弦是直徑

119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形

120定理 圓的内接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的内對角

121①直線l和⊙o相交 d＜r

②直線l和⊙o相切 d=r

③直線l和⊙o相離 d＞r

122切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質定理 圓的切線垂直于經過切點的半徑

124推論1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

125推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

126切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等

130相交弦定理 圓内的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131推論 如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的

兩條線段的比例中項

132切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割

線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134如果兩個圓相切，那麼切點一定在連心線上

135①兩圓外離 d＞r r ②兩圓外切 d=r r

③兩圓相交 r-r＜d＜r r（r＞r）

④兩圓内切 d=r-r（r＞r） ⑤兩圓内含d＜r-r（r＞r）

136定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理 把圓分成n（n≥3）：

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的内接正n邊形

⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個内切圓，這兩個圓是同心圓

139正n邊形的每個内角都等于（n-2）×180°／n

140定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141正n邊形的面積sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長

142正三角形面積√3a／4 a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為

360°，因此k×（n-2）180°／n=360°化為（n-2）（k-2）=4

144弧長計算公式：l=nπr／180

145扇形面積公式：s扇形=nπr2／360=lr／2

146内公切線長= d-（r-r） 外公切線長= d-（r r）

147等腰三角形的兩個底腳相等

148等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

149如果一個三角形的兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等

150三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形

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