公式

sinαsinβ=-[1][cos（α β）-cos（α-β）]/2【注意等式右邊前端的負号】

cosαcosβ=[cos（α β） cos（α-β）]/2

sinαcosβ=[sin（α β） sin（α-β）]/2

cosαsinβ=[sin（α β）-sin（α-β）]/2

這裡用到了sin（-α）=-sinα 即sin（α-β）= - sin（β-α）

證明：

法1

積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。

即隻需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ sinαsinβ）]

=-1/2[cos（α β）-cos（α-β）]

其他的3個式子也是相同的證明方法。

（該證明法逆向推導可用于和差化積的計算，參見和差化積）

法2

根據歐拉公式，e^ix=cosx isinx

令x=a b

得e ^I（a b）=e^ia*e^ib=(cosa isina)(cosb isinb)=cosacosb-sinasinb i(sinacosb sinbcosa)=cos（a b） isin（a b）

所以cos(a b)=cosacosb-sinasinb

sin(a b)=sinacosb sinbcosa

記憶方法

積化和差公式的形式比較複雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了特點各自的簡單記憶方法。

這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該 是[-2,2]，而積的值域卻是[-1,1]，因此除以2是必須的。

也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式後，未抵消的兩項相同而造成有系數2

如：

cos（α-β）-cos（α β）

=(cosαcosβ sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）

=2sinαsinβ

故最後需要除以2。

向量的向量積

定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a b）×c=a×c b×c.

注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB BC=AC。

a b=(x x'，y y')。

a 0=0 a=a。

向量加法的運算律：

交換律：a b=b a；

結合律：(a b) c=a (b c)。

向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a b=0. 0的反向量為0

AB-AC=CB. 即“共同起點，指向被減”

a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

數乘向量

實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

當λ＞0時，λa與a同方向；

當λ＜0時，λa與a反方向；

當λ=0時，λa=0，方向任意。

當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。

實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是将表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；

當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。

數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量對于數的分配律（第一分配律）：(λ μ)a=λa μa.

數對于向量的分配律（第二分配律）：λ(a b)=λa λb.

數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。

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