運用公式法進行因式分解除了運用平方差公式a^²-b^²=(a b)(a-b)外，還包括運用完全平方公式：

a^²±2ab b^²=(a±b)^²，

從完全平方公式來看，要想運用它進行因式分解，多項式必須具備如下三個條件：

①有三項，分别是前項a^²，中間項2ab，後項b^²；

②前後兩項帶平方且相加；

③中間項是前後項底數a、b乘積的2倍。

這三個條件的特征可用口訣記為：

前平方，後平方，前後兩倍在中間。

（注：這裡的“前”、“後”是指不帶平方的底數）

分解結果(a±b)^²是和差的平方，其中a與b是加是減與中間項2ab的符号同步，即如果中間項是 2ab，則結果為(a b)^²；如果中間項是-2ab，則結果為(a-b)^²。

例如，x^² 2x 1中，前是x的平方；後項1可看作是1的平方，所以後是1的平方；中間項2x恰好是前後x，1乘積的2倍。所以該多項式具備完全平方公式三個條件，可以分解為“前後和差的平方”(x 1)^².

又如，4x^²-4xy y^²中，前項4x^²可化為(2x)^²，所以前是2x的平方；後是y的平方；中間項4xy恰好是前後2x和y乘積的2倍。所以可用完全平方公式分解為(2x-y)^².

再比如，x^² 4x 1，雖然前是x的平方，後是1的平方，但中間4x不是前項x與後項1乘積的2倍，所以該多項式不具備完全平方公式條件，因此不能運用完全平方公式分解。

運用完全平方公式因式分解的關鍵有兩點，首先是判斷多項式是否具備公式條件？再者是确定前與後分别是什麼(這裡的所謂“前”、“後”是不包括平方的)？

例如，9a^²-12ab 4b^²，先把前後項分别寫成平方，得：

原式=(3a)^²-12ab (2b)^²，

顯然，該多項式滿足“前平方，後平方”條件，接下來關鍵是判斷中間項12ab是不是“前後乘積的兩倍”？如果是，就滿足公式條件；如果不是，就不滿足公式條件。

因為前是3a，後是2b，前後乘積的兩倍2·3a·2b=12ab，恰好是中間項，

所以該多項式滿足公式條件，分解結果為“前3a減去後2b的平方”(3a-2b)^².

運用完全平方公式分解因式的一般步驟是：

（1）将前後平方項都寫成(…)^²的形式，并分别置于前後；

（2）驗證前後平方項底數乘積的2倍是否等于中間項？(這一步不需要寫出來，心裡驗證就可以了)

（3）驗證滿足公式條件後，直接把多項式寫成“前後和差的平方”即可。此時注意中間項的“符号”來确定是“和”？還是“差”？

例如，分解因式：x^² 9y^²-6xy。

解析：先把9y^²寫成(3y)^²，并把它調整到最後位置，得：

原式= x^²-6xy (3y)^²；

前是x，後是3y，2·x·3y=6xy，恰好等于中間項6xy，又中間項是帶負号“-”，所以分解結果是(x-3y)^²。

完整的解答過程是：

原式= x^²-6xy (3y)^²

=(x-3y)^²。

又如，分解因式：16x^²y^² 40xy 25.

解：原式=(4xy)^² 40xy 5^²

=(4xy 5)^².

公式中的a、b可以是單獨一個字母，一個數，也可以是單項式，多項式等。不管它們是什麼，記住“前平方”的“前”是什麼，“後平方”的“後”是多少就可以了。

例如，分解因式：(a b)^²-8(a b) 16.

先把多項式化為(a b)^²-8(a b) 4^²，則前是(a b)，後是4，經驗證符合完全平方公式，所以

原式=(a b)^²-8(a b) 4^²

=(a b-4)^².

運用完全平方公式因式分解與運用平方差公式分解一樣，注意以下幾點：

（1）有公因式的先提取公因式。

例如，分解因式：2a^³ 4a^² 2a。

解：原式=2a(a^² 2a 1)

=2a(a 1)^².

（2）平方項帶負号“-”的先提取負号“-”。

例如，因式分解：4xy-4x^²-y^².

解：原式=-(4x^²-4xy y^²)

=-[(2x)^²-4xy y^²]

=-(2x-y)^².

（3）分解後要對因式化簡、整理。

例如，分解因式：(a-2b)^² 2(a-2b)(a-b) (a-b)^².

解：原式=[(a-2b) (a-b)]^²

=(2a-3b)^².

（4）分解後有公因式的要提取公因式。

例如，分解因式：25(x 3y)^²-30(x 3y)(x-y) 9(x-y)^².

解：原式=[5(x 3y)]^²-30(x 3y)(x-y) [3(x-y)]^²

=[5(x 3y)-3(x-y)]^²

=(5x 15y-3x 3y)^²

=(2x 18y)^²

=[2(x 9y)]^²

=4(x 9y)^².

（5）分解後又符合公式條件的要繼續用公式法分解。

例如，因式分解：a^⁴-8a^² 16.

解：原式=(a^²)^²-8a^² 4^²

=(a^²-4)^²

=[(a 2)(a-2)]^²

=(a 2)^²(a-2)².

（6）有分數系數時提取某個系數，創造用公式的條件。

例如，因式分解：2x^² 2x 1/2.

解（一）：原式=2(x^² x 1/4)

=2[x^² x (1/2)^²]

=2(x 1/2)^².

解（二）：原式=1/2·(4x^² 4x 1)

=1/2·[(2x)^² 4x 1]

=1/2·(2x 1)^².

（7）用平方差公式分解後再運用完全平方公式繼續分解。

例如，分解因式：(a^² b^²)^²-4a^²b^².

解：原式=(a^² b^²)^²-(2ab)^²

=(a^² b^² 2ab)(a^² b^²-2ab)

=(a b)^²(a-b)^².

練習：把下列多項式因式分解：

（1）x^²-12x 36．

（2）4m³ 12mn 9mn^².

（3） x^⁴-2x^²y^² y^⁴．

（4）(x-1) ^² 4(1-x) 4.

（5）(a-b)^²-6(a-b)(a b) 9(a b)^².

（6）(a^² 1)^²-4a^².

（未完待續）

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