沿着中線把莫比烏斯環剪開，不會得到兩個莫比烏斯環，而是一個有兩面的環。原因很簡單：剪的動作增加了一條邊界。由此得到的表面是一整塊——上下兩邊總是一樣長，但有兩條邊界！

剪開莫比烏斯環：如果沿着中線把莫比烏斯環剪開，得到的形狀有兩條邊界，一條是原來莫比烏斯環的邊界（紅、藍色），另一條是剪開線（黑色）。

要想制作一個莫比烏斯環，要把這個平面在三維空間中扭轉。因為有了三維空間，它才可能穿過第三維來避開和自己相交。所以，莫比烏斯環是一個“三維物種”：我們之所以可以得到莫比烏斯環這樣一個“逆天”的東西，是因為我們生活在三維空間裡。

埃舍爾：《莫比烏斯Ⅱ》

然而，我們是沒辦法在現實世界中做出一個克萊因瓶的，因為它是一個“四維物種”。要制作一個克萊因瓶，需要在四維空間上對三維空間進行扭曲。

想象你用筆在紙上畫出一個8字形。此時，8字中間的筆迹将不可避免地出現自交，這與圓柱體在克萊因瓶的中間自交是同樣的道理。筆迹之所以自交，是因為筆迹線條被限制在了二維表面。不過，如果引入第三個維度，用一條繩子擺出數字8的形狀，就不會有自交問題了。當一段繩子與另一段繩子疊在一起時，它可以在第三維度上上升。因此，這條繩子不需要自交。類似地，如果膠皮圓柱體可以在第四維度上上升，我們就可以制作出一個沒有自交的克萊因瓶。

克萊因瓶的結構顯然不同于普通的瓶子，這使它獲得了一個奇特的性質。為了理解這一點，我們可以想象在下圖的克萊因瓶表面移動。特别是，想象沿着克萊因瓶外表面黑色箭頭指示的路徑前進時的情形。

這個箭頭向上移動，然後在頸部的外表面繞回來，下降到相交點。随後，箭頭變成了灰色，這說明它進入了瓶子内部。箭頭繼續前進，很快越過了起始點。不過，它現在位于瓶子的内部。如果箭頭繼續上升到頸部，然後下降到底部，它就會回到外表面，最終返回原點。箭頭可以平滑地在克萊因瓶的内表面和外表面之間移動，因此這兩個表面實際上屬于同一個面。

當然，擁有明确的内表面和外表面是瓶子的一個主要标準，因此克萊因瓶并不是具有正常功能的瓶子。畢竟，如果倒入等同于倒出，你又怎麼能把水倒入克萊因瓶呢？

實際上，克萊因從未将他的發明稱為瓶子。它最初叫作Kleinsche Flche，意為“克萊因面”。這個名字很恰當，因為它隻有一個面。不過，英語國家的數學家很可能将其誤聽成了Kleinsche Flasche，翻譯成英語是“克萊因瓶”。從此，這個名字就流傳下來了。

最後，前面說過，克萊因瓶和莫比烏斯帶之間存在緊密的聯系。最明顯的聯系是，兩個奇怪的物體都是隻有一個面。第二個不太明顯的聯系是，如果将克萊因瓶切成兩半，你就可以得到一對莫比烏斯帶。遺憾的是，你無法完成這個戲法，因為隻有當你擁有第四維度時，你才能切割克萊因瓶。

丨數學是對真理的探索，對矛盾的懷疑，它絕非晦澀難懂的學問，它是純粹而樸實的智慧。願我們能發現數學之美，發現美的本源源于數學。

文章來源：公衆号“數學之美”

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