關于多面體的研究，人們很早就開始了，早在古希臘時期，著名思想家柏拉圖就已經發現隻存在五種正多面體，依次是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。柏拉圖知識淵博，還曾癡迷幾何學，為了深入研究幾何，據說他在柏拉圖學院的門口立了一塊牌子，寫着“不懂幾何者，不得入内”。柏拉圖發現了除了這五種正多面體，不存在其他的正多面體，但直到去世也沒有給出嚴謹的證明。這樣有過了大概2000年，對這個問題的研究才有了大的突破，其中歐拉定理的發現是關鍵。在數學中，以“歐拉”命名的定理和公式太多了，數論裡面的歐拉定理是關于同餘的性質，把數學中三個最著名的常數聯系起來的歐拉方程被稱為數學中最美的方程，在幾何裡面，歐拉定理表達了簡單幾何體面、棱、頂點個數之間的關系：F V-E=2。其中F代表面數，V代表頂點數，E代表棱數。将幾何體看成是由橡皮膜做成的，如果向裡面充氣，它變成球體，則這樣的幾何體是簡單幾何體。現在給出一個用擦除法證明歐拉定理的過程，這個證明很有趣，而且也不需要太多前置知識，隻需要基本的小學幾何知識就能看懂該證明。

首先把立體圖形變為平面圖形。可以想象将簡單幾何體的其中一個面放在地上，有某種投影使得除組成這個面的頂點之外的所有頂點都投影在這個面内，并且不同的頂點不重合。這樣立體圖形裡的頂點對應于平面圖形中線段的交點，面對應于線段圍成的封閉的區域，棱對應于平面圖形中的線段。因為投影的時候沒有頂點重合，所以平面圖形中的交點數等于頂點數，線段數等于棱數，隻是封閉區域數比面數少1個。設交點數為x=V，線段數為y=E，封閉區域數為z=F-1，弄清楚它們之間的關系，也就弄清了原立體圖形F,V,E之間的關系。

第二步，添加線段使得所有封閉區域變成三角形。易知我們增加了多少條線段，也就增加了多少個封閉區域，所以新圖形的z-y不變，于是新圖形的z x-y沒有變化。

第三步将最外面的線段去掉，可以看到每去掉一個線段，也去掉了一個面，而頂點并沒有改變。所以變化後的圖形z x-y沒有變化。

第四步将外面的角去掉，可以看到每去掉一個角，去掉了兩條線段和一個頂點和一個封閉區域，這樣z x-y依然沒有變化。

​重複使用第二步和第三步，這樣最終得到一個三角形，z x-y=1 3-3=1，由于在變換中z x-y始終不變，所以F-1 V-E=1,這樣F V-E=2，定理就證明了。

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接下來應用歐拉定理證明為什麼正多面體隻有五種。由于是正多面體，每個面是全等的正多邊形，所以設一個面有m個邊，包含m個頂點，設每個頂點關聯n條棱，由于每一條棱都被兩面共用，每一條棱都被兩個頂點關聯，于是

代入到歐拉定理裡有

可得到一個不等式

我們知道最小的正多面體就是正四面體，它的m=3,n=3,

當m=3,n=3時，E=6,對應的是正四面體；

當m=3,n=4時，E=12,對應的是正八面體；

當m=3,n=5時，E=30,對應的是正二十面體；

當m=4,n=3時，E=12,對應的是正六面體；

當m=5,n=3時，E=30,對應的是正十二面體；

僅有這五種情況。

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