[遇見數學創作小組]作者: 爛柯野人, 參考自 Mathologer 視頻(跳轉鍊接»)

​本文給出一個高中生也能看懂的證明方法，由瑞典數學家約翰·海因裡希·蘭伯特在1761年給出。此方法利用三角函數的泰勒級數展開，巧妙的反複運用倒數技巧得到了tan x的連分數表示，然後證明了這個連分數是一個無理數。據信，這個也世界上第一個證明π是無理數的方法。此方法簡潔易懂，即使從現在的觀點來看，其思路也非常具有啟發性。

▲ 約翰·海因裡希·蘭伯特(圖行二左三)

1）無理數和反證法

無理數是指不能寫成分數的數。如果需要證明某個數是無理數，大多用反證法，即假設它可以表示成兩個整數的比，然後推導出矛盾，以此證明假設不成立。

例如，如何證明lg3是無理數？可以先設 lg3 是有理數，于是有

即

兩邊同取n次幂

得到

這個等式顯然不成立，因為其左邊是一個偶數而右邊是一個奇數，得到了矛盾的結果，因此lg3是有理數的假設不成立。附一中有幾個練習，請試試。

2）連分數

連分數(Continued fraction)也叫繁分數，是形如下圖的分數：

其中a0、a1、a2……，b0、b1、b2……為實數或複數。連分數常用來逼近無理數，這也是最早研究連分數的動機，想将實數用“純粹的數學”表示出來。連分數的相關理論在數學中有着重要作用，它是數論及線性方程研究中的一個重要工具，與概率論、級數遞歸、函數逼近、工程技術和計算機科學等也有聯系。

​

連分數因大數學家歐拉而廣為人知，歐拉證明了形如下圖的、所有分子都是1、所有分母都是正整數的無限簡單連分數均是無理數。

實際上，上圖中的無限連分數等于，其分母是121212……無限循環。歐拉利用連分數的這一無理性質證明了自然底數e是無理數，并且得到了e的無限連分數形式：

從第二個2開始，其分母是211、411、611、811、1011……。蘭伯特是歐拉在柏林科學院的同事，熟悉歐拉對連分數的研究和成果，他因此冒出一個好主意：将tanx寫成連分數形式。

3）麥克勞林公式

麥克勞林公式是泰勒公式在x=0點的特殊形式。若f(x)在x=0處n階連續可導，則下式成立：

其中

表示 n 階導數且(0 <θ<1)。因為y=sinx在x=0處具有任意階導數，用麥克勞林公式在x=0處展開sinx，得到：

同樣展開cosx得到：

​

第一步，蘭伯特得到了tanx的連分數表示：

第二步，蘭伯特證明了，當x是除0之外的有理數時，tanx是無理數。所以tan(1/2)、tan(3/4)等都是無理數。

第三步，因為tan(π/4)=1，1不是無理數，所以π/4不能寫為分數形式，即不是有理數，從而證明π是無理數。

1）第一步，得到tanx的連分數表示

将sinx和cosx的展開式代入

得到

從紅色分數線分子上提出一個x，

由于

所以有

對紅分數線上的分子加上紅分數線的分母再減去紅分數線的分母，得到

調整下順序

去括号

計算紅框内的對應項，得到

式中，藍底色的兩部分相同，因為

所以有

對紅分數線上的分子統一提出-x2，得到

再次使用倒數技巧得到

再反複使用分子加減分母法，這次因為分母是1/3，為消去紅分數線上的常數1，給分子加3倍的分母再減去3倍的分母得到

整理得到

如此反複計算下去，最終得到

可以通過對比tanx和連分數的圖形驗證這一結果。下圖是取連分數第一層時的圖形（藍色）與tanx的圖形（棕色）對比，兩個圖形在0點重合。

取連分數的第二層時，圖形更加接近，如上圖。取越多的部分作圖，就越逼近tanx的圖形，證明這個連分數是正确的。

2）第二步，證明 x 為有理數時 tanx 是無理數

設x是有理數，則x可以寫為 u/v，其中u和v均為正整數，代入得到

化簡右邊連分數，給分子分母同乘v，得到

這個無限連分數，除了第一個分子是u，其它的分子都是u²。分母則越來越大，也就是說，從某一處向後，分母會比分子大很多。現在來證明這個無限連分數是無理數。

根據u和v的不同，可能是55v或555v才比u²大，這裡不防設5v比u²大2，那麼從這一點向後，所有的分母都比分子至少大2。

由

得到

那麼下圖中藍色後面所有部分是大于0小于1的

同樣，如下圖，從7v開始，之後的所有部分也是大于0小于1的。

如果上兩圖中的藍色部分或者綠色部分是無理數，那麼整個連分數就是無理數。現在來證明從5v開始的藍色無限連分數是無理數。令藍色部分等于B/A，有B/A<1，即A>B。

所以得到：

再考慮7v向後的部分，整理上面的式子得到下式

由于A、B、v、u都是整數，所以B5v-Au²也是一個整數，令其等于C。

因為7v向後的部分也是大于0小于1的，所以又得到：

所以現在有：

再考慮9v向後的部分又得到：

因為這是一個無限連分數，所以反複這樣做可以得到一個無限遞減數列：

由于數列中所有數都是正整數，而數列的大小是無限的，無論A有多大，始終都會在有限次遞減後小于0，所以不存在這樣的一個遞減數列。

于是，之前從5v開始的藍色部分無限連分數是有理數的假設是錯誤的。于是得到

tan(u/v)=無理數

3）第三步，π是無理數

因為

而1不是無理數，根據原命題與逆否命題具有相同的真假性（如果π/4=u/v，那麼應該得到一個無理數而不是1），得到π/4不是有理數，所以π不是有理數。

得證。

4）一張圖總結

• 附一，練習

為什麼？為什麼我隻能推導出下面的不等式？

2）

是無理數嗎？怎麼證明？

3）

是無理數嗎？怎麼證明？

​

4）怎麼推導出根号3等于下圖中的連分數？

​

5）文中推導tan x的連分數時，給分子加上了一個分母又減去一個分母。其中無論是分子還是分母，都是很大的無窮級數，它們應該不支持交換律和結合律，但蘭伯特為什麼能對分子進行去括号、交換計算順序等操作？

​

附二，最短證明，也就是數學家 Ivan Niven 給出的證明：

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