在品讀《怎樣解題》之前，我們先看一道開場題目，算是熱身吧。

開場題目

一位工程師出國考察。回國前準備把一根比較細的鋼管帶回國。鋼管的長度是1.7米。他提前去航空公司詢問旅客攜帶随身行李有什麼規定嗎？得到的答複是：旅客的随身行李長寬高均不能超過一米。工程師略加思索，想出了一個好辦法。既沒有把鋼管切斷或者是折彎，也沒有違反航空公司的規定，順利把鋼管帶回國，請問他是如何做到的？

我們把這個題目暫時放置，先品書，最後我們再揭曉答案。

首先介紹一下本書作者——大名鼎鼎的波利亞教授。

怎樣解題呢？分為四個步驟，詳情請看下圖。

下面介紹一道書中的題目，難度不大，請大家思考作答。

題目5

在祖父的文件中發現了一張賬單：

72隻火雞 ＄ _67.9_

那個顯然表示這些家禽總價的數的第一位和最後一位數碼已經褪色了，難以辨認，因此這裡用下劃線代替。

這兩個褪色的數碼是什麼？每隻火雞的價格是多少？

提示

你能重新叙述這道題目嗎？如果整個價格以美分來表示，可以被72整除，那麼這兩個褪色的數字會是什麼呢？

解答：如果_679_可以被72整除，那麼它也必定可以被8和9整除。如果它可以被8整除，那麼79_必定可以被8整除(因為1000是可以被8整除的)因此這個數79_就必定是792：最後一個褪了色的數字就是2。如果_6792能被能被9整除，那麼它的各位數字之和必定能被9整除(“舍九法”的規則)，因此第1個褪了色的數字必定是3。一隻火雞的價格(在祖父的那個時代)是 ＄ 367.92÷72=＄ 5.11。

下圖是書摘：諺語的智慧。請大家細細品味，領略大師的智慧真谛。

下圖是書摘：輔助題目。說得好極了！非常精彩。

當我們直接解題遇到困難的時候。可以考慮設置輔助元素或利用輔助題目的方法。在已知的此岸和未知的彼岸之間需要架設一道橋梁，我們才能得到答案。輔助元素或輔助題目就是這道橋梁。科學家總是善于建橋的。下面讓我們來欣賞一道牛頓的題目。

總結：這是一道較複雜的應用問題。要解這道題，無論是題意的分析，變元的設置及輔助元素a的添加，還是設間接未知數等，都很有代表性，請讀者品味。

輔助題目

(Auxiliary problem)

輔助題目是這樣的一種題目，我們考慮它并非為了它本身，而是因為我們希望對它的考慮可能有助于我們解決另一道題目，即我們原來的題目。這道原題才是我們要達到的目的，而這道輔助題目則是我們試圖達到目的的一種手段。

一隻飛蟲試圖通過一塊窗玻璃逃出屋子，它試了又試，卻不去嘗試一下旁邊那扇它由此飛進來的開着的窗子。人能夠或至少應該能夠做得更聰明一點。人的優越之處就在于，在遇到無法直接越過的障礙時他能繞開，當原來的題目看上去無法解決時，他能想出一個适當的輔助題目。想出一道輔助題目是一項重要的思維活動。能夠提出一個有助于另一個題目解答的一道明确的新題目，能夠清楚地将達到另一個目标的手段設想為一個新目标，這是一種智力上的卓越成就。學習(或講授)如何能聰明地處理輔助題目是一項重要的任務。

1.例子。求滿足下列方程的x值：

x⁴-13x² 36=0

如果我們注意到x⁴=(x²)²，我們也許就會發現引入

y=x²

的好處。這樣我們就有了一個新的題目：求滿足下列方程的y值：

y²-13y 36=0

這個新問題是一個輔助題目。我們打算将這個題目作為解決原題的一個途徑。輔助題目中的未知量y自當稱作輔助未知量。

2.例子。已知長方體由一頂點引出的三條棱長，求這個長方體的對角線長。

在試圖解決這道題目(第一部分第8節)時，通過類比(第一部分第15 節)，我們也許會被引導到另一道題目上：已知矩形由一頂點引出的兩條邊長，求這個矩形的對角線長。

這道新的題目是一道輔助題目，我們希望通過考慮它，而能從中獲得對解決原題有利的東西。

3.好處。我們通過考慮輔助題目而獲得的好處，可能各種各樣。我們可以應用輔助題目的結果。于是在例1中，解得關于y的二次方程的根為y等于4或9以後，我們可以推斷出x²=4或x²=9，并由此可得到x所有可能的值。在另一種情況下，我們可以應用輔助題目的方法。于是，在例2中，輔助題目是一道關于平面幾何的題目。它和原題類似，但要簡單一些，原題是一道立體幾何的題目。引入一道這類的輔助題目，期望它具有啟發性，并使我們有機會熟悉特定的方法，運算或工具，能在原來的題目中應用它們，這是很合理的。在例2中，輔助題目的選擇是相當幸運的，仔細地考慮它以後，我們發現既可以利用其方法，又可以利用其結果(見第1部分第15節和你用到所有的已知數據了嗎？ )

以上是書摘。

現在我們思考一個類似例題2的題目：如何計算棱長為1的正方體的對角線？先計算輔助題目。根據勾股定理，邊長為1的正方形對角線是根号2。衆所周知，根号2是數學家發現的第一個無理數。

現在過渡到原題，計算正方體的空間對角線。同樣的方法，用勾股定理計算直角三角形的斜邊。已知勾是1，股是根号2，那麼弦是多少？心算可得答案是根号3。現在讓我們來揭曉開場題目的答案吧。我們知道根号3的近似值是1.732，于是得到了開場題目的答案：他定制了一個棱長1米的正方體木箱，把鋼管帶回國了。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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