二元函數連續偏導-tft每日頭條

二元函數連續偏導

生活更新时间:2025-02-06 14:07:53

二元函數連續偏導（二元函數偏導數）1

11.3 偏導數

對于多元函數, 當我們把一個自變量固定, 對另一個變量求導, 這樣就是求偏導. 現在來看下偏導數的定義以及如何計算.

二元函數的偏導數

如果 (x0,y0)是函數 f(x,y) 定義域中的一點, 固定平面 y=y0 割曲面 z=f(x,y) 得到曲線 z=f(x,y0) (如下圖紅色曲線所示).

二元函數連續偏導（二元函數偏導數）2

二元函數連續偏導（二元函數偏導數）3

在點 (x0,y0)對于 y 的偏導數定義類似 f 對于 x 的偏導數. 現在隻是把 x 固定在 x0 的值, 而取計算 f(x0,y) 在 y0 對 y 的普通導數. 請看下面的動畫:

二元函數連續偏導（二元函數偏導數）4

多于二元的函數

更多元的函數偏導數類似二元函數定義, 隻是對某一個變量求導, 而其餘自變量為常數.

偏導數和連續性

一元函數導數即意味着連續, 但二元函數 f(x,y) 不同, 在一個點不連續, 但對 x 和 y 可以求偏導.

二元函數連續偏導（二元函數偏導數）5

二階偏導數

二階導數就是對函數求導兩次, 但注意求導次序如果是先對y 求偏導, 再對 x 求偏導應該這樣的寫法:

二元函數連續偏導（二元函數偏導數）6

混合求導

在計算二階混合導數時候, 可以按任意次序微分.

可微性 Differentiability

如果 fx(x0,y0 和 fy(x0,y0) 存在, 并且 Δz 滿足下面的等式:

二元函數連續偏導（二元函數偏導數）7

其中當 (Δx,Δy)→(0,0) 時 (ϵ1,ϵ2)→(0,0), 則函數 z=f(x,y) 是在 (x0,y0) 點可微的.

如果它在定義域内的每個點都是可微的, 則說 f 是可微的.

多元函數偏導存在且連續推出函數可微, 但反之不成立, 這點與一元函數不同.(完)

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