機械能守恒定律

1．(多選)有一款蹿紅的微信小遊戲“跳一跳”，遊戲要求操作者通過控制棋子(質量為m，可視為質點)脫離平台時的速度，使其能從平台跳到旁邊的同一水平面上的另一平台。如圖所示的抛物線為棋子在某次跳躍過程中的運動軌迹，軌迹的最高點距平台上表面高度為h，不計空氣阻力，重力加速度為g，則(　　)

B．棋子從離開平台至運動到最高點的過程中，機械能增加mgh

C．棋子離開平台後距平台面高度為時的動能為

D．棋子落到另一平台上時的速度大于

A．t1時刻小球的速度最大

B．t2時刻小球所受合力為零

C．以地面為零重力勢能面，t1和t3時刻小球的機械能相等

D．以地面為零重力勢能面，t1～t3時間内小球的機械能守恒

1．關于重力勢能，下列說法中正确的是(　　)

A．物體的位置一旦确定，它的重力勢能的大小也随之确定

B．物體與零勢能面的距離越大，它的重力勢能也越大

C．一個物體的重力勢能從－5 J變化到－3 J，重力勢能減少了

D．重力勢能的減少量等于重力對物體做的功

2．在同一位置以相同的速率把三個小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出。不計空氣阻力，則落在同一水平地面時的速度大小(　　)

A．一樣大 B．水平抛出的最大

C．斜向上抛出的最大 D．斜向下抛出的最大

3．把小球放在豎立的彈簧上，并把球往下按至A位置，如圖甲所示。迅速松手後，球升高至最高位置C(圖丙)，途中經過位置B時彈簧正處于原長(圖乙)。忽略彈簧的質量和空氣阻力。則小球從A位置運動到C位置的過程中，下列說法正确的是(　　)

B．經過位置B時小球的速度最大

C．小球、地球、彈簧所組成系統的機械能守恒

D．小球、地球、彈簧所組成系統的機械能先增大後減小

4．(多選)如圖所示，A、B兩物體的質量分别為m、2m，中間用輕杆相連，放在光滑的斜面上。現将它們從靜止釋放，在下滑的過程中(　　)

B．輕杆對A做正功，對B做負功

C．系統的機械能守恒

D．任意時刻兩物體重力的功率相同

5．(多選)如圖所示，在一個直立的光滑圓管内放置一根輕質彈簧，彈簧的上端O與管口A的距離為2x0，一個質量為m的小球從管口由靜止開始下落，将彈簧壓縮至最低點B，壓縮量為x0，設小球運動到O點時的速度大小為v0，不計空氣阻力，則在這一過程中(　　)

B．小球運動的最大速度等于v0

C．彈簧的勁度系數為

D．彈簧的最大彈性勢能為3mgx0

6．(多選)如圖，固定于小車上的支架上用細線懸挂一小球。線長為L。小車以速度v0做勻速直線運動，當小車突然碰到障礙物而停止運動時，小球上升的高度的可能值是(　　)

C．大于 D．等于2L

7．如圖所示，半徑為R＝0.4 m的光滑的圓弧形軌道固定于豎直平面内，圓弧形軌道與足夠長的光滑固定水平軌道相切，可視為質點的質量均為m＝0.5 kg的小球甲、乙用輕杆連接并置于圓弧形軌道上，小球甲與O點等高，小球乙位于圓心O的正下方。某時刻将兩小球由靜止釋放，最終它們在水平軌道上運動。g取10 m/s2，則(　　)

B．兩小球最終在水平軌道上運動的速度大小為2 m/s

C．當小球甲滑到圓弧軌道最低點時，軌道對它的支持力大小為10 N

D．小球甲下滑過程中重力對它做功的功率增大

8．(多選)如圖所示，一個固定在豎直平面内的光滑半圓形管道，管道裡有一個直徑略小于管道内徑的小球，小球在管道内從A點到B點做圓周運動，從B點脫離後做平抛運動，經過0.4 s後又恰好垂直與傾角為45° 的斜面相碰。已知半圓形管道的半徑為R＝1 m，小球可看做質點且其質量為m＝1 kg，g取10 m/s2。下列判斷正确的是(　　)

B．小球在斜面上的相碰點C與B點的水平距離是0.8 m

C．小球經過管道内O點等高點時，重力的瞬時功率是－60 W

D．小球經過管道的A點時，對管道外壁壓力是66 N

9．如圖所示，一根足夠長的光滑細杆傾斜固定放置在豎直平面内，它與以O為圓心、R為半徑的圓(圖中虛線表示)相交于B、C兩點，一輕彈簧一端固定在圓心O點，另一端連接一質量為m的小球，小球穿在細杆上且能自由滑動，小球由圓心正上方的A點靜止釋放，經過B點時彈簧恰好處于原長，此時小球速度為v，整個過程彈簧均在彈性限度内，則小球從A點到C點的運動過程中，下列判斷正确的是(　　)

B．小球經過B點時速度最大

C．小球經過C點時速度一定大于v

D．小球重力勢能和動能之和先減小後增大再減小

10．(多選)在一次探究活動中，某同學設計了如圖所示的實驗裝置，小車的質量M＝1 kg、長L＝4 m，半徑R＝1 m的光滑半圓弧軌道固定在小車的上表面的中點位置，半圓弧軌道下端與小車的上表面水平相切，現讓位于軌道最低點的質量m＝0.2 kg的光滑小球随同小車一起沿光滑水平面向右做勻速直線運動，某時刻小車碰到固定障礙物而瞬時處于靜止狀态(小車不反彈)，之後小球離開圓弧軌道最高點并恰好落在小車的左端邊沿處，該同學通過這次實驗得到了如下結論，其中正确的是(g取10 m/s2)(　　)

B．小車與障礙物碰撞時損失的機械能為12.5 J

C．小車瞬時靜止後，小球在軌道最低點對軌道的壓力是12 N

D．小車向右做勻速直線運動的速度約為6.5 m/s

11．(多選)如圖甲所示，在豎直平面内固定一光滑的半圓形軌道ABC，小球以一定的初速度從最低點A沖上軌道，圖乙是小球在半圓形軌道上從A運動到C的過程中，其速度的平方與其對應高度的關系圖像。已知小球在最高點C受到軌道的作用力為2.5 N，空氣阻力不計，B點為AC軌道的中點，g＝10 m/s2，下列說法正确的是(　　)

A．圖乙中x＝36

B．小球質量為0.2 kg

C．小球在B點受到軌道的作用力為8.5 N

D．小球在A點時重力的功率為5 W

12．如圖所示，光滑水平軌道AB與光滑半圓形軌道BC在B點相切連接，半圓軌道半徑為R，軌道AB、BC在同一豎直平面内。一質量為m的物塊在A處壓縮彈簧，并由靜止釋放，物塊恰好能通過半圓軌道的最高點C。已知物塊在到達B點之前已經與彈簧分離，重力加速度為g。求：

(1)物塊由C點平抛出去後在水平軌道的落點到B點的距離；

(2)物塊在B點時對半圓軌道的壓力大小；

(3)物塊在A點時彈簧的彈性勢能。

13．如圖所示，釘子A、B相距5l，處于同一高度。細線的一端系有質量為M的小物塊，另一端繞過A固定于B。質量為m的小球固定在細線上C點，B、C間的線長為3l。用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時BC與水平方向的夾角為53°。松手後，小球運動到與A、B相同高度時的速度恰好為零，然後向下運動。忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：

(1)小球受到手的拉力大小F；

(2)物塊和小球的質量之比M∶m；

(3)小球向下運動到最低點時，物塊M所受的拉力大小T。

答案與解析

1．【答案】AD

【解析】以平台表面為零勢能面，則棋子在最高點的重力勢能為mgh，故棋子從離開平台至運動到最高點的過程中，重力勢能增加mgh，A正确；棋子從離開平台至運動到最高點的過程中，不計空氣阻力，隻有重力做功，機械能守恒，B錯誤；棋子在最高點的機械能E＝mgh＋mvx2，vx為棋子在最高點的速度。由于機械能守恒，則棋子離開平台後距平台面高度為時，動能為E－mgh＝mgh＋mvx2>，故C錯誤；設棋子落到平台時的瞬時速度大小為v，棋子從最高點落到平台的過程中，根據動能定理得mgh＝mv2－mvx2，解得v＝>，D正确。

2．【答案】C

【解析】根據題述，結合彈簧彈力随時間變化的圖線，金屬小球從彈簧正上方某一高度處由靜止釋放，t1時刻接觸彈簧，由于重力大于彈簧彈力，小球還要加速向下運動，當彈力增大到等于小球重力時，小球速度最大，選項A錯誤；t2時刻彈簧被壓縮到最短，彈簧的彈力最大，小球所受合力向上，選項B錯誤；t1時刻和t3時刻小球的速度大小相等，動能相同，距離地面高度相同，以地面為零重力勢能面，t1時刻和t3時刻小球的機械能相等，選項C正确；以地面為零重力勢能面，t1～t3時間内，小球和彈簧組成的系統機械能守恒，但由于小球受到彈簧的彈力作用，小球的機械能先減小後增大，選項D錯誤。

1．【答案】D

【解析】物體的重力勢能與參考面有關，同一物體在同一位置相對不同的參考面時，重力勢能不同，選項A錯誤；物體在零勢能面以上，與零勢能面的距離越大，重力勢能越大，物體在零勢能面以下，與零勢能面的距離越大，重力勢能越小，選項B錯誤；重力勢能中的正、負号表示大小，－5 J的重力勢能小于－3 J的重力勢能，選項C錯誤；重力做的功量度了重力勢能的變化，選項D正确。

2．【答案】A

【解析】不計空氣阻力的抛體運動，機械能守恒。故以相同的速率向不同的方向抛出落至同一水平地面時，物體速度的大小相等。故隻有選項A正确。

3．【答案】C

【解析】A到B的過程中，小球先加速後減速，當加速度為零時，彈力等于重力，速度最大，但位置在B點下方，故A、B選項均錯誤；小球由A到C的過程中，隻有重力和彈簧的彈力做功，小球、地球和彈簧組成的系統機械能守恒，選項C正确，D錯誤。

4．【答案】AC

【解析】因為兩物體用輕杆連接，一起運動，加速度相同，兩物體整體受力分析得：(2m＋m)gsinθ＝(2m＋m)a，整體加速度a＝gsinθ，A正确；設杆對B的力為F，隔離B可得：2mgsinθ＋F＝2ma，且a＝gsinθ，所以F＝0，B錯誤；隻有重力對系統做功，動能和重力勢能相互轉化，機械能守恒，C正确；因為重力功率等于P＝mgvy，雖然兩物體速度相同，但是質量不一樣，重力功率不一樣，D錯誤。

5．【答案】AD

【解析】當小球加速度為0時，小球速度最大，kx＝mg，所以速度最大位置在壓縮量為位置，從O點到壓縮量為位置，小球合力向下，依然加速，最大速度大于v0，A正确，B錯誤；結合A選項的分析，kx＝mg，x為速度最大的位置，x0為速度為0的位置，所以x<x0，所以k＝>，C錯誤；對小球全程用機械能守恒定律：mg3x0＝Epm，D正确。

6．【答案】ABD

【解析】當小車突然碰到障礙物而停止運動時，由于慣性小球的速度仍為v0，若v0可以滿足小球做圓周運動，則小球可以上升的最高點正好為圓的直徑，即為2L，若小球不能做圓周運動，則根據機械能守恒可得mv02＝mgh，解得h＝，若空氣阻力不能忽略，則小球的機械能不守恒，上升高度小于，故A、B、D正确。

7．【答案】C

【解析】下滑過程中，杆要對小球乙做功，則小球乙的機械能不守恒，選項A錯誤；系統機械能守恒，故有mgR＝mv2＋mv2，解得v＝＝ m/s＝2 m/s，故B錯誤；當小球甲下滑到圓弧形軌道最低點時，由重力和支持力的合力提供向心力有N－mg＝m，解得N＝mg＋m＝0.5×10 N＋0.5× N＝10 N，故C正确；小球甲下滑過程中，在最高點時的速度為零，故重力的功率為零；在最低點時的速度和重力垂直，故重力的功率也是零；而中途重力的功率不為零，故重力的功率應該是先增加後減小，故D錯誤。

8．【答案】ACD

【解析】小球從B到C的運動時間為t＝0.4 s，那麼，小球在C點的豎直分速度為：vy＝gt＝4 m/s；由小球恰好垂直與傾角為45° 的斜面相碰可知：小球從B點水平射出的速度v＝vycot 45°＝4 m/s，故小球在斜面上的相碰點C與B點的水平距離為：s＝vt＝1.6 m；h＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m，hCO＝R－h＝1－0.8＝0.2 m，故A正确，B錯誤；從管道内O點等高點到B點，由機械能守恒定律得：－mgR＝mv2－mv02，重力的功率PG＝－mgv0＝－60 W，故C正确；從管道内A點等高點到B點，由機械能守恒定律得：－mg2R＝mv2－mvA2，在A點，有FN－mg＝m，解得FN＝66 N，故D正确。

9．【答案】C

【解析】小球從A點到C點的運動過程中，小球與彈簧組成的系統能量守恒，小球的機械能不守恒，故A不正确。小球經過B點時彈簧恰好處于原長，此時小球速度為v，則小球經過C點時彈簧恰好也處于原長，小球從B到C重力做正功，小球動能增加，小球經過C點時速度一定大于v，故B不正确，C正确。分析知彈簧原來處于伸長狀态，小球從A到B，彈簧的彈力做正功，彈性勢能減少，小球的重力勢能和動能之和先增加；小球從B到BC的中點過程中，彈簧被壓縮，彈性勢能增加，則小球的重力勢能和動能之和就減少；小球從BC中點到C的過程中，彈簧伸長，彈性勢能減少，則小球的重力勢能和動能之和就增加，所以小球從A點到C點的運動過程中，小球重力勢能和動能之和先增加後減少再增加，故D不正确。

10．【答案】AC

【解析】從最高點做平抛運動，下落時間為t＝＝ s＝ s，抛出時的速度為v＝＝ m/s＝ m/s，故A正确；小球在上滑過程中由動能定理可知－mg·2R＝mv2－mv02，解得v0＝5 m/s，故小車和小球向右運動的速度為5 m/s≈7.07 m/s，故小車損失的機械能為ΔE＝Mv02＝×1×(5)2 J＝25 J，故B錯誤，D錯誤；碰撞後小球開始做勻速圓周運動，在最低點由牛頓第二定律得：FN2－mg＝m，解得：FN2＝12 N，由牛頓第三定律可知對軌道的壓力為12 N，故C正确。

11．【答案】BC

【解析】小球在光滑軌道上運動，隻有重力做功，故機械能守恒，所以有mv02＝mv2＋mgh，解得v2＝－2gh＋v02，當h＝0.8 m時，v2＝9 m2/s2，代入數據得v0＝5 m/s；當h＝0時，v2＝v02＝25 m2/s2，x＝25，故A錯誤；由題圖乙可知，軌道半徑R＝0.4 m，小球在C點的速度vC＝3 m/s，由牛頓第二定律可得F＋mg＝m，解得m＝0.2 kg，B正确；小球從A到B過程中由機械能守恒有mv02＝mvB2＋mgR，解得小球運動到B點的速度vB＝ m/s，在B點，由牛頓第二定律可知NB＝m，代入數據得NB＝8.5 N，選項C正确；小球在A點時，重力mg和速度v0垂直，重力的瞬時功率為0，D錯誤。

12．【解析】(1)因為物塊恰好能通過C點，則有：

mg＝m

x＝vCt,2R＝gt2

解得x＝2R

即物塊在水平軌道的落點到B點的距離為2R。

(2)物塊由B到C過程中機械能守恒，則有：

mvB2＝2mgR＋mvC2

設物塊在B點時受到的半圓軌道的支持力為FN，則有：

FN－mg＝m

解得FN＝6mg

由牛頓第三定律可知，物塊在B點時對半圓軌道的壓力大小FN′＝FN＝6mg。

(3)由機械能守恒定律可知，物塊在A點時彈簧的彈性勢能為Ep＝2mgR＋mvC2

解得Ep＝mgR。

13．【解析】(1)由幾何知識可知AC⊥BC，根據平衡

(F＋mg)cos 53°＝Mg

解得F＝Mg－mg。

(2)與A、B相同高度時

小球上升h1＝3lsin 53°，

物塊下降h2＝2l，

物塊和小球組成的系統機械能守恒mgh1＝Mgh2

解得＝。

(3)根據機械能守恒定律，小球向下運動到最低點時，恰好回到起始點，設此時物塊受到的拉力為T，加速度大小為a，由牛頓第二定律得Mg－T＝Ma

對小球，沿AC方向由牛頓第二定律得T－mgcos 53°＝ma

解得T＝

結合(2)可得T＝或mg或Mg。

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