正四面體的截面有哪些情況？三角形、四邊形？n邊形……是否可能出現？下文嘗試一一讨論之。

凸多面體的截面是凸多邊形。

所謂凸集就是指集合滿足如下性質：對任意點，則線段 常見的凸集有三角形、平行四邊形、正n邊形、圓、凸多面體、球體，歐氏空間（是平面，是空間）等。

關于凸集有一個基本的結論：凸集的交集仍然是凸集。請讀者利用上述凸集定義自證。凸集的截面事實上就是凸集與凸集——平面的交集，所以截面必定是平面上的凸集。

由于凸多面體每個面都是平面上的凸多邊形區域，于是截面的邊界是面與面的交線段段構成的平面閉曲線，這樣的凸集隻能是凸多邊形。

接下來我們對截面進行簡單的分類，這有助于我們接下來的讨論。

正四面體截面的分類

以下我們所說的截面，皆指非退化的情況，如果是截線、截點，則不予讨論。我們将截面分成以下兩種情況讨論。

過頂點的截面

将正四面體視為三棱錐，則過頂點的截面由兩條母線所決定（通過兩條相交直線的平面唯一），第三條邊則落在底面，于是截面始終是三角形。特别地，若母線是某條棱，則截面是過棱的三角形。

普通截面

于是我們更在意的是不過頂點的截面。這樣的截面我們不妨命名為「普通截面」。一個顯而易見的事實，我将之命名為——

不相容原理：普通截面的任意兩個頂點不會在正四面體同一條棱。

否則，截面就會經過這條棱的全部，這與普通截面的前提矛盾。所以，普通截面的每個頂點占據一條棱，而正四面體至多有6條棱，所以普通截面的邊數不會超過6.

推論：設正四面體截面為凸n邊形，則 n < 7.

不相容原理雖然很簡單，但是将問題大大簡化，我們再也不用擔心的情況，剩下的四種情況隻需逐一排查即可。

如上圖是的情況。似乎是不存在的，能否嚴格證明——

定理：正四面體的截面是多邊形隻有兩種情況：三角形、四邊形。

證明：我們隻需要證明普通截面不可能出現五邊形、六邊形即可。正四面體總共隻有6條邊，如果截面是五、六邊形，我們至少可以找到正四面體兩個面——正三角形每邊各有一點，這意味着截面同時過平面，矛盾。

特殊的截面

既然我們已經确定正四面體的截面多邊形的全部類型，那麼接下來可以尋找更特殊的截面，例如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、矩形。

三角形

由前文所述，過頂點的截面一定是三角形。如下圖，設正四面體，設從頂點處發射兩條母線決定了截面。

分析截面三角形各個角，需要我們回憶中學立體幾何兩個重要的引理——

三正弦定理三正弦定理也稱為最大角定理，即二面角不小于線面角

三餘弦定理三餘弦定理也稱為最小角定理，即線面角不大于斜線角

證略。

我們可以把這個定理運用到如下場景。

我們所求截面底角的餘弦值等于

于是我們分别去了解 而由三正弦定理可知線面角有最大值為正四面體的二面角，最小值為截面過棱的角：

通過觀察，作為三角形的内角的取值範圍是

上圖的截面的頂角隻可能是銳角。事實上由最小角定理

<左右劃動可見>

于是可知界面三角形是銳角、直角、鈍角三角形，取決于，而取決于這為我們提供了構造各種類型三角形的方法。

四邊形

正四面體最特别的四邊形截面是「中位線正方形」，它是四條邊恰好是正四面體四個面的中位線。

如上圖，平行于中位線正方形的平面與正四面體的截面是矩形，這個矩形的周長始終與中位線正方形的周長相等，請讀者自行證明。周長固定，由均值不等式很容易得知，這樣的矩形面積不會超過中位線正方形的面積。

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