物體與距地球需要保持多遠的距離，可以受到地球重力場的影響并以速度V遠離地球（質量M）？

感謝你的提問，這是一個非常有趣的問題。

有多種方法可以解答你的疑問，但最簡單的是利用“雙曲線飛越”假設。當我們假設某物體已非常接近地球，以至于地球的引力影響了整個太陽。這顆小行星相對于地球的速度稱為無窮遠處的速度，由于該物體沒有邊界，即具有正能量，其軌迹将是雙曲線，焦點位于質心（如果物體具有邊界，即具有負能量，如人造衛星，則為橢圓；如果物體具有足夠的能量以脫離地球的引力，則為抛物線。橢圓，圓，抛物線和雙曲線稱為圓錐截面，因為可以通過用平面“切割”圓錐來獲得）。

任何橢圓，抛物線或雙曲線軌迹的空間狀态都需要用六個參數來描述（三維空間任意一個物體，你都需要用六個常數去描述其空間狀态。三個用于描述位置，三個用于描述速度）。為解決我們的問題，在這裡隻需要引入其中兩個參數，即偏心率和半長軸。偏心率用于描述圓錐截面的“開放”程度，圓=0，橢圓<1，雙曲線> 1。離心率越大，雙曲線就越“開放”。半長軸用于描述軌道的大小，圓的半長軸是其半徑；橢圓的半長軸對應較長軸的長度。

由于雙曲線是一個開放的軌迹，難以将其可視化。其在數學上定義為，雙曲線上的任何點到兩個固定點的距離之差稱為焦距，等于2 * a（對橢圓而言，等于距離之和）。

如果我們稱最小距離為q，則在任何圓錐截面上都能表示出該距離。

(1) q=a(1-e)

由于e> 1并且q必須為正數（距離不能為負數），這就是為什麼雙曲線a在天體力學中通常為負數的原因。為計算出q值，我們首先需要知道a和e的表達式，這些表達式包括了無窮遠處的速度，碰撞參數和地球的質量。

假設來自太陽的擾動可忽略不計，該運動是平面的，并且角動量（即粒子位置與其速度的乘積）得以保留。因此，在所有飛越過程中，其初始值為一個常數。

如果我們将D稱為沖擊參數，那麼在t = 0時的角動量h将由下式給出：

(2) h=vinfinityD

其方向沿着z軸的指向。這可能表明，對于任何圓錐形軌道（橢圓形，雙曲線或抛物線，舉例參見Danby 1998，天體力學基礎，Ed。Willmann-Bell，第78-82頁）h由下式給出：

(3) h=sqrt{μ*a*(1-e2)}

其中μ是引力常數乘以地球質量m2的乘積。聯立方程（2）與（3）可得m2，vinfinity，D（已知）與未知數a和e之間的關系，即（4）sqrt {μ* a *（1-e2）} = vinfinityD

此時我們需要另一個方程，這可能量守恒定律得到。如果我們考慮小行星的質量為1，任何情況下其能量在都可由下式給出：

(5) E=-μ/r v2/2

即勢能和動能的總和。在t = 0，v = vinfinity且與中心的距離r很大時，第一項可忽略不計。對于任何軌道，其能量也可以定義為（參見Danby，第63-65頁）：

(6) E=-μ/2a

我們最後聯立方程（5）和（4）（無窮大）可得：

(7) a=-μ/vinfinity2

（這是一個負數，因為它為雙曲線）。将（7）代入（4），可得：

(8) e2=1 vinfinity^4*D2/μ2

最後，q由下式給出：

(9) q=-Gm2/vinfinity(1-sqrt{1 vinfinity4*D2/μ2}

這是你提出的問題所需要的表達式，它由地球質量，無窮遠處的速度和沖擊參數得出 。

但是，在此推導過程中，我們忽略了太陽的擾動。實際情況中，我們也應考慮太陽的影響，這就是天體力學中所謂的“三體”問題。不過該問題沒有精确的解析解（但可以通過利用數學方法找到近似解）。其中一種是使用辛積分方法，這是一個軌道參數演算的程序，可以通過數學方法計算在一個中心物體和多個擾動子的重力影響下物體的軌道參數。

但你的問題非常複雜，因為小行星正從太陽重力影響區轉移到地球重力占主導的區域。新的辛積分方法已經被用來解決這個問題（利維森和鄧肯的SyMBA方法，J. 錢伯斯的水星法），并且已經可以研究一些有趣的問題，例如大型小行星與小行星家族成員親密接觸的長期影響（5億年）。

作者: curious

FY: a

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