下文節選自《簡單微積分》, 已獲圖靈新知授權許可, [遇見數學] 特此表示感謝!

積分應用的基礎

小學所學的圖形面積、體積的計算，實際上是與積分世界相連通的。積分并不是高中教材中突然半路殺出的“程咬金”，初等教育中相關内容的學習，已經為邁入積分世界做了充分的熱身。

而對于微分，大部分人都感覺不是很熟悉。說起微分，就會提到“切線斜率”“瞬時速度”“加速度”，這些内容怎麼理解都很難懂。這些東西我們無法直接用眼睛看到，很難直觀上去把握。

從曆史上來看，積分比微分要更早出現。

積分法的起源是“測量圖形的大小”。古時候圖形長度、面積、體積的計算方法，通過口傳心授得以流傳，經過曆代人的智慧的錘煉，進而發展成為現在的積分法。

探尋積分法誕生的曆史，大緻可以追溯到公元前1800年左右。公元前200年的阿基米德時代1，在計算抛物線和直線圍成的圖形面積問題上，已經出現了與現在積分法十分相似的“窮舉法”。積分的曆史，還真是悠久。

到了12世紀，印度的婆什迦羅二世提出了積分法的“前身”方法。進入17世紀，牛頓綜合了微分法和積分法，嘗試從萬有引力理論來推導天體的運動規律。

總之，從積分出現到微分誕生，至少有長達1300年的間隔。

積分之所以會較早出現，是因為人類需要把握那些可見的東西，例如計算物體的面積、體積等。

初等教育中的圖形計算，通常隻針對長方形、圓形等規規矩矩的圖形。而現實情況中，這些知識往往難以直接去應用。

這是因為，現實世界中存在的物質，并非都是學校中學習的那些規則的形狀。相反，那些規則的形狀可以說隻是例外或理想化的情況。所以，對人類而言，測量現實情況中各種複雜圖形大小的技術非常必要。

日本小學的家政課會講授烏冬面、土豆塊2等簡易料理的烹饪方法。之所以特地在學校中講授這些内容，是因為這些都是烹饪中的基礎方法。實際上我們自己做菜時，多會在商店中購買成品的烏冬面，也基本不會頻繁烹制土豆塊。但是，如果掌握了這些基礎烹饪方法的話，就能夠烹制出更多複雜的菜品。例如，烏冬面的烹饪方法可以運用到面包、比薩或者意大利面中，從土豆塊中學到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸餅中。

如果把在小學初中學的長方形、圓形的知識比作烏冬面、土豆塊，那麼微積分就相當于面包、土豆沙拉等應用性料理。多虧有了積分法，人類才能夠計算各種圖形的面積和體積。使用積分，無論是多麼奇怪的形狀，隻要下功夫就能夠計算出結果，這真是巨大的進步。

将思考應用于實際，用自己的力量去推導面積、體積，這才是積分的樂趣，也是學習積分的真正意義。

所有圖形都與長方形相通

圖形的種類紛繁多樣，其中面積計算最為簡單的就是“長方形”了。

說到這裡，大家是不是想起了小學時初學面積計算的情景？在圖形面積計算中，三角形、平行四邊形、梯形、圓形等圖形都是放到長方形之後學習。長方形的面積僅用“長×寬”就可以計算，可以說是最簡單、樸素的圖形。順便提一下，在數學世界中，正方形被看作是“一種特殊的長方形”。

掌握長方形面積的計算方法後，就可以将其應用到三角形的面積計算中。反過來說，如果不知道長方形面積的計算方法，也就無法計算三角形的面積。

這是因為，三角形的面積可以看作是“以三角形的一條底邊為邊長、該邊上的高為另一邊的長方形面積的一半”。根據圖2可知，三角形的面積正好是對應長方形面積的一半，也就是說“三角形的面積=底×高÷2”。

那平行四邊形是什麼情況呢？平行四邊形可以看作是兩個以平行四邊形的邊為底邊的三角形的組合。

梯形的情況又如何呢？梯形可以看作平行四邊形的一半。如圖4所示，兩個相同的梯形并列組合形成了平行四邊形。因此，梯形的面積也是以長方形為基礎計算的，為“（上底 下底）×高÷2”。

從三角形到平行四邊形，再到梯形，雖然這三個圖形看上去沒什麼直接關聯，但它們的面積公式都是以長方形面積為基礎推導出來的。(未完待續)

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