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6道經典數學題小學生

教育更新时间:2025-05-19 20:30:40

本文解一道網紅小學幾何題，适合初中學曆讀者。

問題

如圖，正方形 ABCD 邊長為 1，以 A 為圓心 AD 為半徑畫得 BD 弧，以 BC 為直徑在正方形内畫得半圓，求 BD 弧與半圓相交所得陰影部分的面積。

6道經典數學題小學生（解一道網紅小學幾何題）1

方法一：幾何方法

如圖，弧 BD 交半圓于 E，取 BC 中點 O，連接 AE, AO, OE。

6道經典數學題小學生（解一道網紅小學幾何題）2

由于 BC 為半圓直徑，則 O 為圓心。注意到 AB = AE, OB = OE，AO 為公共邊，因此我們有

令，則

根據扇形面積的計算公式可知，扇形 ABE 面積為

扇形 OBE 面積為

四邊形 ABOE 的面積為

那麼陰影面積為

方法二：解析方法

如圖，以 B 為原點，BC 為軸正方向建立平面直角坐标系。為了書寫方便，令

那麼有

6道經典數學題小學生（解一道網紅小學幾何題）3

弧 BD 的方程為

半圓 BC 的方程為

聯立兩個方程可解得 E 坐标為 (0.8, 0.4)。

先計算扇形上的弧 BE 與軸所圍的面積，如下圖

6道經典數學題小學生（解一道網紅小學幾何題）4

令得

再計算半圓上的弧 BE 與軸圍成的面積，如下圖

6道經典數學題小學生（解一道網紅小學幾何題）5

令得

那麼陰影部分面積為

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