作者|尚慧際 （原創頭條首發）

本文謹以專著地球子午線剖面觸碰的橢圓随機圖形作為垂直分布内容，結合人們探索自然和數學内在的規律，猜想橢圓公設圖形在“數與形”建模中發揮的作用來科普橢形要素的認識與突破。

作者專著

A. 猜想背景

觀測自然

自從伽利略（Galileo）發明望遠鏡以來，人類使用天文工具觀測璀璨繁星看到銀河系與仙女系，了解了星系的旋臂環繞星系中心呈現“橢圓”形态做旋轉，推測仙女系以300公裡/秒的速度穿越數百萬光年的距離向銀河系靠近，兩個星系或将30億年後發生碰撞。

銀河系與仙女系

随着科技的發展和進步，借助NASA的太空哈勃望遠鏡、中國的500米單口徑射電望遠鏡和大數據計算，對浩瀚深宇進行探索，模拟星系合并、黑洞吸積、粒子噴流的場景，并通過多普勒頻移對星系進行分析，獲取紅移和藍移現象，認識宇宙的加速膨脹。

自然的接觸作用

星體、星系的運行遵循洛希極限大尺度天體物理規律的演化，人類目睹了蘇梅克列維9号彗星撞擊木星的接觸作用；以霍金（Hawking）“黑洞輻射理論”來理解黑洞撕裂恒星形成的吸積與噴流，以及處于星系中心所具備的最大勢能将粒子抛向空中的超距作用。

自然的超距作用

物理數學

觀測的天文現象符合《古典物理學原理》相對性原理，如伽利略的慣性運動、牛頓力學的加速度運動、達朗貝爾原理的被某種約束限制的質點或質點系運動等。通過“數與形”的數學方法做建模處理，抽象出星體運動的線性軌迹和吸積噴流的平面與垂直形态，憑借線段、直線、圓、直角及“圓錐曲線”原理，建立坐标系對龐大複雜的巨系統來進行計算驗證。在坐标系中，5次方以上的方程求解沒有固定求根公式，驗證又受限于群論的非定量結論。因此，采用微分幾何、芬斯勒幾何、拓撲幾何和概率統計等不同的方法進行協調，以逼近建模的形式來描述虛幻的空間結構。

期待突破

探究逼近建模問題觸達了自然哲學和數學源頭。從古希臘自然哲學探索世界的“數”本源，到歐洲文藝複興時期開啟的近代天文學革命。人們觀測宇宙中普遍存在圓及橢圓的周期運動，哥白尼（Copernicus）《天體運行論》的思想變革修正了托勒密“地心說”而提出“日心說”；第谷（Tycho）通過觀測行星運行的視距差修正了托勒密“本輪”模型；開普勒（Kepler）發現了橢圓軌道定律、橢圓面積定律及橢圓調和定律，卻都忽略了探索宇宙本源需要設定橢圓元素的基本圖形。

天體運行論

追溯古希臘的數學家阿波羅尼奧斯（Apollonius）大量引用《幾何原本》公理化命題開辟了《圓錐曲線論》，提出有關“虧曲線”的幾何元素，即橢圓曲線。但，為什麼對“虧曲線”圖形不進行原始設定？為什麼繞開了“龐斯命題”及其“驢橋”邏輯循環證明和“第五公設”證明的問題，而對“垂直與平行”的應用未能給出證明依據？

圓錐曲線論

人們對數學存在着認識上的局限和突破。正如17世紀的笛卡爾（Descartes）所指出的那樣：“我也不能相信是因為他們不願意超越那兩個公設，即①兩點間可作一直線；②繞給定的中心可作一圓過一給定的點。”笛卡爾也指出：“他們在讨論圓錐截線時，就毫不猶豫地引進了這樣的假設：任意給定的圓錐可用給定的平面去截。”

以至于從公元前3世紀到西方近代理性主義興起時期，在長達兩千多年希望超越前述兩個公設的曆程中，哲學家和智術師簇集一起，在數學領域用數理邏輯的純粹方法對“第五公設”所做出的努力都沒有獲得成功，而羅巴切夫斯基（Lobachevsky）與波爾約（Bolyai）在證明“第五公設”中，卻大膽地宣稱“其不能被證明或否定”，誕生了新的數學分支——非歐幾何學，使“第五公設”成為了經典的未解問題。

再次追問：不能完成對“第五公設”的邏輯檢驗，難道是因為原始命題或原始公設的數目不夠？作者與讀者從哲學及科學範疇一起去思考……

哲學科學

經曆自然哲學到古典哲學的4個時期有：古希臘自然哲學時期、中世紀基督教哲學時期、近代理性主義時期和德國古典哲學時期。

①自然哲學是從自然維度和形而上學維度來探索世界本源。古希臘哲學之父泰勒斯（Thales）的“水”、阿那克西曼德（Anaximander）的“無定”、阿那克西美尼（Anaximenes）的“氣”、赫拉克利特（Heracliyus）的“火”、恩培多克洛（Empeddocles）的“四根”、德谟克利特（Demokritos）的“原子”。另外，赫拉克利特提出的“邏各斯”，畢達哥拉斯（Pythagoras）學派提出的“數”，巴門尼德（Parmennides）提出的“存在”。最後，由古希臘三賢蘇格拉底（Socrates）、柏拉圖（Plato）、亞裡士多德（Aristotle）把自然哲學集大成推向巅峰，奠定了物理學及形而上學的形式邏輯和實體實驗。

②中世紀基督教哲學時期是談論上帝存在的黑暗時期。直至文藝複興時期的到來，宗教哲學開始了改革。

③近代理性主義出現了唯理論和經驗論的兩大派别，涉及了認識論的話題：人是如何認識世界的，真理性知識是如何确定的。唯理論學派有笛卡爾的“我思故我在”、斯賓諾莎（Spinoza）的“神及自然”、萊布尼茨（Leibniz）的“單子論”。經驗論學派有洛克（Locke）的“心靈的白闆說”、貝克萊（Berkeley）的“存在即被感知”、休谟（Hume）的“對因果關系的颠覆”。唯理論學派隻注重理性推演和邏輯推理，最終走向了獨斷論。經驗論學派隻注重經驗而不注重邏輯推理，最終導緻了懷疑論。兩個派别的矛盾發展到極緻，違背了初衷，都走向了死胡同。

④德國古典哲學彰顯了康德（Kant）提出的“先天綜合判斷”思想。這一哲學思想揚棄了唯理論和經驗論兩大理論，更關注于“人”的實踐領域道德等問題。“人”是目的而不是手段。康德哲學思想是一種開放的哲學思想，對重新構建“知識共同體”的認識論，延續至今也具有指導意義。

古希臘自然哲學到德國古典哲學的100問

從古希臘的自然哲學發展到德國的古典哲學，豐富的理性思辨使哲學發生了認識論的轉向。加之羅素（Russell）給出的判斷：“哲學就是我們運用了科學的方法論進行的對可确定性知識領域外的探索”，西方科學樹立了科學的三個要素：科學目的、科學精神、科學方法。

數學危機

偉大的康德不僅在哲學領域提出“先天綜合判斷”的思想引領了認識論的轉向，也在極限論、實數論等理論基礎上提出了公理化的集合論方案，他試圖為第二次數學危機的萊布尼茨和牛頓（Newton）微積分方法來尋找理論根據。不巧的是，羅素在康德的公理化集合論中提出了“理發師悖論”，将數學危機再次推向了新高度。幸好哥德爾（Gdel）提出“不完備性定理”，暫時将布勞威爾的直覺主義、羅素的邏輯主義、希爾伯特的形式主義代表三大數學流派的争論拉上了帷幕。

尋迹首次數學危機。早在公元前3世紀，根号2無理數的出現動搖了畢達哥拉斯學派“數”本源的根基，人們固守“天圓地方”的觀念，仰視天穹正球體來解決第一次數學危機。歐幾裡得（Euclid）通過使用無刻度的尺規、無刻度的度量，在數學史上落下了重重一筆，編寫《幾何原本》建立了空間秩序最久遠、最權威的邏輯推理體系，深奧尊崇。遺憾的是，歐氏幾何未将橢圓元素所涉及“圓錐曲線”的有關命題納入《幾何原本》，而缺少了彎曲美麗的橢圓圖形。

B. 猜想創新點

創新實踐

在讨論圓錐曲線時，笛卡爾希望引入一條必要的假設：“即兩條或兩條以上的線可以一條随一條地移動，并由它們的交點确定出其他曲線。”新時代，作者踐行“把作品寫在中國大地上”，發表了專著《碰撞泛古陸裂解地月系起源歐幾裡得“第五公設”》、論文《在歐幾裡得公理體系中添加橢圓公設》。

橢圓公設獨樹一幟的理論是憑借歐氏幾何學的公理化演繹方法，依托歐氏所設的前4條公設描摹給出橢圓公設，通過《幾何原本》第I卷幾何基礎中的公認命題I.1、命題I.2、命題I.3，運用歐氏的5條公理及無刻度的尺規作圖，對橢圓弧線上的任意點到兩個焦點的距離之和都等于長軸進行了證明。同時，專著借鑒歐氏幾何的公理系統，以橢圓公設為新起點建立了橢圓切線性質一、切線性質二等命題。原創橢圓公設具有“獨立性、完備性、相容性” 的特征。

猜想1：歐氏幾何為續寫“圓錐曲線”預留了想象空間

《幾何原本》第VI卷命題VI.3的陳述：如果三角形的一個角的平分線，截對邊得到的兩條線段的比等于夾這個角的兩邊的比；如果三角形一邊被分成兩段的比等于其餘兩邊的比，那麼連接分點與頂點的直線平分這一邊所對的角。歐幾裡得給出注釋：命題VI.3在《幾何原本》中未得以再利用。

命題VI.3的幾何圖形

引述：

命題VI.3設直線AD平分三角形的頂角BAC，過C作CE使之平行于DA，延長BA，與CE交于E。而邊AC、AE已被證明相等，截得等腰三角形CAE和任意三角形BCE。見上圖

猜想：

命題VI.3描述三角形ABC的邊BC看作橢圓焦距，端點B、C看作橢圓焦點，兩邊AB、AC及三角形頂點A可看作橢圓弧線上一點A到兩焦點的距離之和等于BE，BE看作橢圓定長，其特征與專著建立橢圓定長的線段一緻。

平行線CE的中點F與三角形ABC頂點A連接的輔助線AF看作橢圓切線，且AF與三角形頂角平分線AD垂直，其特征與專著建立橢圓切線性質一，完全相同；AF與給定三角形兩邊所夾的角相等，其特征與專著建立橢圓切線性質二，完全相同。見下圖

命題VI.3呈現的橢圓圖形

如果三角形的中位線平行第三邊且等于第三邊的一半。那麼用三角形BCE的BC的中點θ與CE的中點F連線确定中位線θF，使2倍的θF等于BE；G是BE的中點，GB等于GE。那麼通過尺規作圖，以線段BC為基礎（公設I.1）作延長線WW′（公設I.2），建立W″W″′垂直WW′于θ（公設I.4），以θ為圓心，θF為半徑作圓WFW′，交延長線WW′于W、W′（公設I.3），确定橢圓長軸。同理，以B為圓心，BG為半徑作圓W″GW″′，交垂線W″W″′于W″、W″′，确定橢圓短軸。

如圖呈現出了歐氏設定的公設I.1線段、公設I.2延長直線、公設I.3圓、公設I.4直角以及橢圓公設的橢圓。同時，橢圓的中心、焦距、長軸、短軸、橢圓切線的幾何元素，立即躍然在同一平面上。

由此，猜想歐幾裡得為《幾何原本》古老命題的延續留下了伏筆。

猜想2：橢圓公設可以完成“第五公設”的邏輯檢驗

“第五公設”同平面内一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個内角之和小于兩個直角，則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交。

常有學者在證明“第五公設”時使用等價命題：①三角形内角和等于兩個直角、②相似三角形、③平行公理等。羅巴切夫斯基等人使用普勒菲爾的平行公理“過已知直線外的一點可作兩條直線與已知直線平行”，合同歐氏的前4條公設，并運用反證法進行了一系列的推演，得到了無矛盾的結論，最終發展出非歐幾何學。但非歐幾何學抛棄了“第五公設”的同一平面概念，所引用的平行公理并不是幾何學的原始公設。

倘若，把橢圓公設作為原始設定的圖形來建立新公理系統，設一條過橢圓中心的弦AB為延長直線L₃，過弦AB兩端作切線L₁、L₂，确定L₁、L₂、L₃三條相交的直線，角α是小于直角的銳角，角β是大于直角的鈍角，角α、角β之和恰好等于兩個直角，就使直線L₁、L₂不相交于P；同理，另一側不相交于P′。滿足普勒菲爾的平行公理。見下圖

橢圓公設描述的平行線

另設一條不過橢圓中心的弦AB為延長直線L₃，過弦AB兩端作切線L₁、L₂，确定L₁、L₂、L₃三條相交的直線，角α、角β是小于直角的銳角，角α與角β兩角之和小于兩個直角，就使直線L₁、L₂在這一側相交于P。滿足歐幾裡得的“第五公設” 。見下圖

橢圓公設描述的相交線及任意三角形

針對三角形内角和的證明，在公理化推演“第五公設”的過程中，以兩個直角分别減去角α、角β的兩個差角之和，恰好是兩條切線所夾的角ABP。滿足任意三角形ABP内角和等于兩個直角的等價命題。

由此，猜想橢圓公設可以完成“第五公設”的邏輯檢驗。

非歐幾何學

從認識論角度再去思考非歐幾何學：如果可能，阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》是由任意給定的圓錐用給定的平面去截，獲得了虧曲線、超曲線、齊曲線，使得處于二維平面中的這類圖形與非歐幾何學能建立密切聯系。那麼，作者猜想使用歐氏幾何學原始設定的一維線段、直線，二維圓、直角以及橢圓公設這樣的圖形與非歐幾何學建立起的因果聯系是不沖突的，也是合理的。

歡迎讀者關注和讨論。

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