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為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數，以及怎麼把一個無限循環小數化為它的既約分數形式?

不知道如何證明如果有理數化成小數形式如果是無限小數，那麼它一定是循環的。碰到 0.168831 168831 168831... 怎麼知道它作為分數是什麼？

一、問題重述

要證明：有理數=有限小數 無限循環小數，咱們首先來做幾個說明：

有理數又稱為比例數，因此有理數和分子分母是整數的分數是等價的。每個有理數都有一個既約分數和它對應，既約分數是指分子和分母不僅是整數，而且二者的最大公約數是1。

有限小數是有理數一定正确。

我們可以把需要證明的有理數的範圍縮小到(0, 1)之間，如果在這個範圍内結論成立，那麼推廣到全部有理數上結論也成立。

無限循環小數是形如

為了證明題目，需要證明下面兩個結論：

1. 無限循環小數一定是有理數。

2. 有理數一定是有限小數或者無限循環小數。

二、證明無限循環小數一定是有理數

首先我們任取一個無限循環小數

因為分數/有理數的四則運算還是分數/有理數，所以為證明q是有理數，隻需要證明

我們把循環節提出來，把 再分解一次：

後面的無限循環小數的循環節是連着k-1個是0，然後跟一個1，恰好滿足：

原因是：

因此我們得到：

這樣就證明了 是有理數。

三、證明有理數一定是有限小數或者無限循環小數

我們随便拿來一個既約真分數

思路：

因為由上面的分析我們知道

交叉相乘，得到

構造：

對任意，我們定義一個數

同餘除法有一點點複雜，經過一定計算我們可以得到一個遞推公式：

繼續推導可以得到一個一般遞推公式：

因為一個數除以b的餘數隻能是0到b-1之間的b個整數，一共隻b種可能，因此不斷把k增大，一定有某兩個f的值相同了。咱們不妨就假設

因此是

雖然這并不能說能整除其中一個（除非是素數），但是可以說能分解成兩部分，各整除其中一部分：我們令

，進而由 既整除 又整除 得到 能夠整除

因此我們得到：

咱們令

則可以得到：

和上一節的結論一比較，就可以知道這一定是一個有限小數或循環小數之。由于分數a、b的選擇是任意的，證明完畢。

via:王小龍（知乎）

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