在許多科學和工程學科中，必須管理非常大和非常小的數值量。其中一些數量的大小令人難以置信，要麼非常小，要麼非常大。以質子的質量為例，質子是原子核的組成粒子之一：

Proton mass = 0.00000000000000000000000167 grams

或者，考慮在1安培的穩定電流下，每秒經過電路中某一點的電子數：

1 amp = 6,250,000,000,000,000,000 electrons per second

很多零，不是嗎？顯然，即使借助計算器和計算機，處理如此多的零位數字也會讓人很困惑。

注意這兩個數字以及它們中非零位數的相對稀疏性。對于質子的質量，我們隻有一個“167”，小數點前有23個零。對于每秒1安培的電子數，我們有“625”，後面是16個零。我們稱之為非零位數的跨度（從第一位到最後一位），加上任何零位不僅用于占位符，任何數字的“有效數字”。

實際測量中的有效數字通常反映該測量的準确性。例如，如果我們說一輛車重3000磅，我們可能不是說這輛車有多重确切地3000磅，但是我們已經把它的重量四舍五入到一個更便于說和記住的值。3000這個四舍五入的數字隻有一個有效數字：前面的“3”—0隻是用作占位符。然而，如果我們說這輛車重3005磅，那麼重量沒有四舍五入到最接近的千磅，這一事實告訴我們中間的兩個0不僅僅是占位符，而是數字“3005”的所有四位數對其代表性準确性都有重要意義。因此，數字“3005”被稱為四重要數字

同樣地，具有許多零位的數字不一定代表一個真實世界中一直到小數點的量。當已知是這樣的情況時，可以用一種數學“速記”來寫這樣的數字，以便更容易處理。這個“速記”叫做科學記數法 .

在科學記數法中，一個數字是通過将其有效數字表示為1到10之間的量（或-1到-10，表示負數），而“占位符”的0是用10的乘幂來表示的。例如：

1 amp = 6,250,000,000,000,000,000 electrons per second

. . . 可以表達為。

1 amp = 6.25 x 10 eighteen每秒電子數

10到18次方（10 eighteen)表示10乘以自身18倍，或“1”後跟18個零。乘以6.25，它看起來像是“625”後面跟着16個零（取6.25，向右跳過18位小數點）。科學記數法的優點是顯而易見的：數字寫在紙上不會那麼麻煩，有效數字也很容易識别。

但是很小的數字呢，比如質子的質量，克？我們仍然可以使用科學記數法，除了用10的負幂代替正幂，将小數點向左移而不是向右移：

Proton mass = 0.00000000000000000000000167 grams

. . . 可以表達為。

Proton mass = 1.67 x 10 -24克

10的-24次方（10 -24)是指10乘以自身24倍的倒數（1/x），或前面有一個小數點和23個零的“1”。乘以1.67，它看起來像“167”，前面有一個小數點和23個零。就像在處理非常大的數字的情況下，人類處理這種“速記”符号要容易得多。與前一個例子一樣，這個量的有效數字被清楚地表達出來了。

因為有效數字是“獨立”表示的，遠離十個乘法器的幂次，所以即使數字看起來是圓的，也很容易顯示出一定的精度。以我們的3000磅汽車為例，我們可以用科學記數法将3000的整數表示為：

car weight = 3 x 10 three英鎊

如果汽車的實際重量為3005磅（精确到最接近的磅），并且我們希望能夠表達測量的全部精度，那麼科學符号數字可以這樣寫：

car weight = 3.005 x 10 three英鎊

然而，如果這輛車真的有3000磅重，準确地說（精确到一磅）呢？如果我們用“正常”的形式（3000磅）來寫它的重量，就不一定清楚這個數字确實精确到了最接近的磅數，而不僅僅是四舍五入到最接近的千磅，或者是最接近的100磅，或者是最接近的十磅。另一方面，科學記數法允許我們證明所有四位數字都是有效的，沒有誤解：

car weight = 3.000 x 10 three英鎊

因為在小數點的右邊加上額外的零是沒有意義的（科學記數法不需要置零），所以我們知道這些零必須對數字的精确性很重要。

科學記數法的好處并不在于書寫的容易和表達的準确性。這種表示法也很适合于乘法和除法的數學問題。假設我們想知道在一個電流為1安培的電路中，有多少電子會在25秒内流過一個點。如果我們知道電路中每秒的電子數（我們知道），那麼我們所要做的就是用這個數量乘以秒數（25），就可以得到總電子數的答案：

(6,250,000,000,000,000,000 electrons per second) x (25 seconds) =

1562500000000000000000電子在25秒内經過

使用科學記數法，我們可以這樣寫問題：

（6.25 x 10 eighteen每秒電子數）x（25秒）

如果我們取“6.25”乘以25，我們得到156.25。所以，答案可以寫成：

156.25 x 10 18電子

然而，如果我們想遵守科學記數法的标準慣例，我們必須将有效數字表示為1到10之間的數字。在這個例子中，我們會說“1.5625”乘以10的某個幂。要從156.25得到1.5625，我們必須跳過小數點後兩位。為了在不改變數字值的情況下彌補這一點，我們必須将幂次提高兩個等級（10次方為20次方，而不是10次方為18次方）：

1.5625 x 10 20電子

如果我們想知道在3600秒（1小時）内會有多少電子經過呢？為了使我們的工作更輕松，我們也可以将時間用科學的方法記下來：

（6.25 x 10 eighteen每秒電子數）x（3.6 x 10 three秒）

為了乘法，我們必須取兩個有效的數字集（6.25和3.6）并将它們相乘；我們需要取10的兩次幂并将它們相乘。取6.25乘以3.6，得到22.5。取10 eighteen乘以10 three10，我們得到了 twenty-one（具有公共基數的指數相加）。所以，答案是：

22.5 x 10英寸 twenty-one電子

. . . 或者更确切地說。

2.25 x 10英寸 twenty-two電子

最後，我們可以用一個科學的方法來解釋，如何用1除以1，來解決這個問題

（2.25 x 10 twenty-two電子）/（6.25 x 10 eighteen每秒電子數）

就像乘法一樣，我們可以用不同的步驟來處理10的有效數字和幂（記住，你要減去10的除以幂的指數）：

（2.25/6.25）x（10） twenty-two / 10 eighteen )

答案是：0.36×10 four或3.6 x 10 three，秒。你可以看到我們到達的時間相同（3600秒）。現在，你可能想知道，當我們有電子計算器可以自動處理數學時，這一切的意義何在。好吧，在科學家和工程師使用“計算尺”模拟計算機的時代，這些技術是不可或缺的。“硬”算術（處理有效數字）将用滑動法則來執行，而十的幂次則可以在沒有任何幫助的情況下計算出來，隻不過是簡單的加減法。

• 回顧：
• 有效數字代表一個數字在現實世界中的準确性。
• 科學記數法是一種“速記”的方法，可以以易于處理的形式表示非常大和非常小的數字。
• 當用科學記數法将兩個數字相乘時，你可以将兩個有效數字相乘，然後通過加指數得到10的幂次。
• 當用科學記數法将兩個數字相除時，你可以将兩個有效數字除以，然後通過減去指數得到10的幂次。

公制除了是各種物理量的測量單位的集合外，還圍繞着科學記數法的概念來構建。十次幂的差别是用字母的十次幂來表示的。下面的數字線顯示了一些更常見的前綴及其各自的十次幂：

看看這個比例，我們可以看到2.5G意味着2.5x10 nine字節，或25億字節。同樣地，3.21皮安培意味着3.21×10 -12安培，或3.21 1/萬億安培。

其他度量前綴的存在是為了表示非常小和非常大的乘法器的十次幂。在光譜的極小一端，femto(f) = 10 -15 ,atto(a) = 10 -18 ,澤普托(z) = 10 -21，和尤克托(y) = 10 -24. 在光譜的極端一端，Peta(P) = 10 fifteen ,Exa(E) = 10 eighteen ,Zetta(Z) = 10 twenty-one，和Yotta(Y) = 10 twenty-four .

因為公制中的主要前綴指的是10的幂次，是3的倍數（從“kilo”向上，從“milli”向下），公制表示法與常規科學記數法的不同之處在于尾數可以在1到999之間，這取決于選擇的前綴。例如，如果一個實驗室樣本的重量為0.000267克，科學記數法和公制記數法的表達方式會有所不同：

2.67 x 10英寸 -4克（科學記數法）

267µg（公制表示法）

同樣的數字也可以用0.267毫克（0.267毫克）來表示，盡管通常更常見的是将有效數字表示為大于1的數字。

近年來出現了一種新的十進制小數點符号。由于小數點（“.”）很容易因打印質量差而被誤讀和/或“丢失”，因此4.7 k等數量可能會被誤認為47 k。新的表示法将小數點替換為公制前綴字符，因此“4.7 k”被打印為“4k7”。上一個示例中的最後一個數字“0.267 m”将用新的表示法表示為“0m267”。

• 回顧：
• 公制記數法使用字母前綴來表示10的某些幂次，而不是更長的科學記數法。

為了用不同的度量前綴來表示一個量，我們隻需要根據需要将小數點向右或向左跳過。請注意，在前面的“從右到右”的前綴中，“數字”從左到右排列得更小。這種布局是特意選擇的，以便更容易記住，對于任何給定的轉換，您需要跳過小數點的哪個方向。

示例問題：用微安表示0.000023安培。

0.000023安培（沒有前綴，隻有安培的普通單位）

從單位到小數點的數字線是6位（十次方），所以我們需要跳過小數點右邊6位：

0.000023 amps = 23. , or 23 microamps (µA)

示例問題：用千伏表示304212伏。

304,212 volts (has no prefix, just plain unit of volts)

從（無）地點kilo數列上的位數是向左3位（10的幂次方），所以我們需要跳過左邊3位的小數點：

304,212. = 304.212 kilovolts (kV)

示例問題：用毫歐姆表示50.3兆歐。

50.3 M ohms (mega = 10 six )

從mega到milli是9位（10的幂次方）在右邊（從10到6次方到10到-3次方），所以我們需要跳過向右9位的小數點：

50.3 M ohms = 50,300,000,000 milli-ohms (mΩ)

• 回顧：
• 遵循公制前綴數字行，以了解為轉換目的跳過小數點的哪個方向。
• 沒有顯示小數點的數字在最右邊的最右邊有一個隐式小數點（即對于數字436，小數點在6的右邊，例如：436）

要在手持計算器中輸入科學記數法中的數字，通常有一個标有“E”或“EE”的按鈕，用于輸入10的正确幂次。以質量為單位，輸入質量為1 -24grams）在手動計算器中，我将輸入以下按鍵：

[1] [.] [6] [7] [EE] [2] [4] [ /-]

按[/-]鍵将幂（24）的符号變為-24。有些計算器允許使用減法鍵[-]來實現這一點，但我更喜歡使用“change sign”[/-]鍵，因為它與在其他上下文中使用該鍵更為一緻。

如果我想在手工計算器中輸入科學記數法中的負數，我必須小心使用[/-]鍵，以免改變幂的符号而不是有效數字的值。請注意這個例子：

要輸入的數字：-3.221 x 10 -15 :

[3] [.] [2] [2] [1] [ /-] [EE] [1] [5] [ /-]

第一次[/-]鍵将條目從3.221更改為-3.221；第二次[/-]鍵将功率從15更改為-15。

在手持式計算器上顯示公制和科學符号是另一回事。它包括将顯示選項從正常的“固定”小數點模式更改為“科學”或“工程”模式。你的計算器手冊将告訴你如何設置每個顯示模式。

這些顯示模式告訴計算器如何表示數字讀數上的任何數字。數字的實際值不受顯示模式選擇的任何影響——隻影響計算器用戶對數字的顯示方式。同樣，在計算器中輸入數字的過程也不會随着不同的顯示模式而改變。10的幂次通常由顯示器右上角的一對數字表示，隻有在“科學”和“工程”模式下才可見。

“科學”和“工程”顯示模式的區别在于科學和公制符号的區别。在“科學”模式下，設置十倍顯示的功率，使顯示器上的主數字始終為1到10之間的值（或-1到-10表示負數）。在“工程”模式下，10的幂被設置為以3的倍數顯示，以表示主要的公制前綴。用戶所要做的就是記住幾個前綴/幂組合，他或她的計算器将是“正在說話”的度量！

POWER METRIC PREFIX ----- ------------- 12 ......... Tera (T) 9 .......... Giga (G) 6 .......... Mega (M) 3 .......... Kilo (k) 0 .......... UNITS (plain) -3 ......... milli (m) -6 ......... micro (u) -9 ......... nano (n) -12 ........ pico (p)

• 回顧：
• 使用[EE]鍵輸入10的幂次。
• 使用“scientific”或“engineering”分别以科學或公制表示法顯示十的幂次。

SPICE電路模拟計算機程序使用科學符号來顯示其輸出信息，并且可以解釋電路描述文件中的科學符号和度量前綴。如果你想在本書中成功地解釋SPICE分析，你必須能夠理解程序中用來表示電壓、電流等變量的符号。

讓我們從一個非常簡單的電路開始，這個電路由一個電壓源（一個電池）和一個電阻器組成：

為了使用SPICE來模拟這個電路，我們首先要為電路中所有不同的點指定節點号，然後列出組件及其各自的節點号，這樣計算機就知道哪個組件連接到哪個組件，以及如何連接。對于這種簡單的電路來說，SPICE的使用似乎有點過頭了，但它有助于演示科學記數法的實際應用：

輸入電路描述文件，或網絡列表，對于這個電路，我們得到：

simple circuit v1 1 0 dc 24 r1 1 0 5 .end

“線”v1 10直流24“描述了電池，位于節點1和0之間，直流電壓為24伏。“線”蘭特1 0 5“描述了放置在節點1和0之間的5Ω電阻器。

使用計算機對該電路描述文件進行SPICE分析，得到以下結果：

node voltage ( 1) 24.0000

voltage source currents name current v1 -4.800E 00 total power dissipation 1.15E 02 watts

SPICE告訴我們1号節點處的電壓（實際上，這意味着節點1和0之間的電壓，節點0是所有電壓測量的默認參考點）等于24伏。通過電池“v1”的電流顯示為-4.800E 00安培。這是SPICE表示科學符号的方法。它真正的意思是“-4.800 x 10 zero安培”，或者簡單地說-4.800安培。這裡電流的負值是由于SPICE中的一個怪癖造成的，并不表示電路本身有什麼重要的地方。“總功耗”是1.15E 02瓦，意思是“1.15 x 10” two或115瓦

讓我們修改我們的例子電路，使它有一個5千歐（5千歐，或5000歐姆）的電阻，而不是一個5歐姆的電阻，看看會發生什麼。

再次是我們的電路描述文件，或“網絡列表：

simple circuit v1 1 0 dc 24 r1 1 0 5k .end

電阻線上數字5後面的字母“k”告訴SPICE它是一個5kΩ的數字，而不是5Ω。讓我們看看當我們在計算機上運行這個程序時會得到什麼結果：

node voltage ( 1) 24.0000

voltage source currents name current v1 -4.800E-03 total power dissipation 1.15E-01 watts

當然，自從第一次模拟之後，電池電壓沒有改變：仍然是24伏。另一方面，這次的電路電流要小得多，因為我們把電阻設得更大，使電子更難流動。SPICE告訴我們這次的電流等于-4.800E-03安培，或者-4.800 x 10 -3安培。這相當于取數字-4.8并跳過小數點左邊三位。

當然，如果我們認識到10 -3與公制前綴“milli”相同，我們可以把這個數字寫成-4.8毫安，或者-4.8毫安。

看看SPICE在第二個模拟中給出的“總功耗”，我們發現它是1.15E-01瓦，或者說是1.15x10瓦 -1瓦茨。1的幂與公制前綴“deci”相對應，但通常我們将在電子産品中使用的公制前綴限制為與10的幂有關的那些是3的倍數（10是。-12、-9、-6、-3、3、6、9、12等）。所以，如果我們想遵循這個慣例，我們必須用0.115瓦或115毫瓦（115mW）而不是1.15分瓦（1.15DW）來表示這個功耗。

也許将數字從科學符号轉換為常用公制前綴的最簡單方法是将科學計算器設置為“工程”或“公制”顯示模式。隻需将計算器設置為該顯示模式，使用正确的按鍵輸入任何科學符号數字（請參閱用戶手冊），按“等于”或“回車”鍵，它将以工程/公制符号顯示相同的數字。

再次，我将在本書中使用SPICE作為演示電路概念的方法。因此，您最好理解科學記數法，以便您能夠輕松理解其輸出數據格式。

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