多元一次函數實證分析-tft每日頭條

多元一次函數實證分析

生活更新时间:2024-10-14 09:59:37

俄羅斯數學家切比雪夫在用标準差來度量離差的情況下，提出并證明了以下不等式。

切比雪夫不等式：對有限方差的任何變量，算數均值的k個标準差内，觀測值的數量比例最少是1-1/k^2。其中k大于1。

多元一次函數實證分析（切比雪夫不等式與變異系數）1

例如當k=1.25，根據不等式，位于正負1.25個标準差内的觀測值占總體觀測值的比例不低于36%。最常用的是，圍繞均值的兩個标準差區間内至少包含75%的觀測值。三個标準差區間内至少包含89%的觀測值。以上并不用考慮觀測值是如何分布的。

切比雪夫不等式重要性來自于他的普适性，不等式不管分布形狀如何，不管是對樣本還是總體，不管是連續還是離散都成立。當然，如果我們知道分布的具體情況，例如是正态分布，那麼得到的區間可能會更精确。

多元一次函數實證分析（切比雪夫不等式與變異系數）2

我們注意到标準方差相比方差更容易解釋，因為标準方差使用與觀測值相同的測量單位。在不同數據集之間解釋相對變異程度時，有時候我們可能很難解釋标準差意味着什麼，這是因為數據集之間均值可能有很大的不同，也有可能數據集之間的測量單位不同。在這部分，我們引入一種相對偏離程度的測量方法，變異系數，這種方法在以上問題中會發揮很大作用。相對偏離程度是相對一個參考值或基準的偏離程度值。

我們可以設計一個例子，第一個樣本全部是小公司的年生産規模，分别是50萬、75萬、65萬、90萬。第二個樣本全部是大公司的年生産規模，分别是800萬、825萬、815萬、840萬。我們可以計算，這兩個樣本的标準方差都是16.8萬。在第一個樣本中最大觀測值比最小觀測值大90%，第二個隻大5%。通常以上數據署名，标準方差16.8萬表示，第一個樣本中，相對均值70萬有16.8萬的變異程度，第二樣本中，相對均值820萬有168萬的變異程度，顯然第一個樣本的風險比第二個樣本的風險更高。變異系數在描述上面兩個樣本風險大小時會很有用。

多元一次函數實證分析（切比雪夫不等式與變異系數）3

變異系數的定義：變異系數是觀測集合的标準差于均值的比值。

當觀測值是回報率，變異系數測量每單位均值的風險（标準方差）值。變異系數的

含義在投資上還可以演變為夏普比率，夏普比率測量證券在單位方差下的風險回報溢價。

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