談起整數，你一定會想：這不是小學就學過的概念嗎？

整數（integer）不就是像-3，-2，0，1，2，3這樣的數嗎？ 而且整數在生活中處處皆是，它對人們來說再熟悉不過了。

可是看完今天的文章，你會發現，當我們談論“整數”時，我們在談些什麼？

• 為什麼我們會用符号Z表示整數集呢？

這涉及到一個德國女數學家對環理論的貢獻，她叫諾特。

早在1920年，諾特已經引入了數學中“左模”，“右模”的概念。1921年出版的《整環的理想理論》更是交換代數發展的裡程碑。其中，諾特在引入整數環概念的時候（整數集本身也是一個數環），由于她是德國人，德語中的整數叫做Zahlen，于是她便将整數環記作Z，也就是從那時候起整數集就用Z表示了。

• 中國最早引進了負數，但“0”卻被印度人搶先注冊

最早引進和使用負數是《九章算術》的一項突出的貢獻。在《九章算術》的“方程術”中，當用遍乘直除算法消元（即用加減消無法解一次方程組）時，可能出現減數大于被減數的情形。為此，就需要引進負數。《九章算術》在方程章中提出了組下的“正負術”： 同名掃除，異名相益，正無入負之，負無入正之。 其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入員之。 這實際上就是正負數和零的加減運算法。

• 就算有整數0也不讓用

大約1500年前，歐洲數學家們是不知道用“0”這個數字的。這時，羅馬有一位學者從印度計數法中發現了“0”這個符号。他發現，有了“0”，進行數學運算非常方便，于是便把印度人使用“0”的方法向大家做了介紹。這件事不久就被羅馬教皇知道了。教皇非常憤怒，他認為神聖的數是上帝創造的，在羅馬上帝創造的數裡沒有“0”這個怪物。并以亵渎神靈罪把那位學者抓了起來，對他施加了酷刑。就這樣，整數“0”在歐洲遲遲未能“上市”，這很大程度上也是現在世界最常用的是阿拉伯數字而不是羅馬數字的原因之一。

• 所有正整數的和等于負十二分之一

是的，你沒有看錯，正數的和竟然會等于負數！是不是感覺自己的世界觀徹底被颠覆。

其實這個概念來源于國外的兩期科學節目，其中一期介紹了格蘭迪級數，另一期以此為基礎推算出所有自然數之和等于-1/12，論述過程十分缜密完備，有興趣可以也可以在知乎上看到簡易的推理過程。在數學上一旦涉及到“無窮”，很多公式甚至定義都有所限制了，可以說“無窮”本身就是一個魔鬼！

• 整數多了也會感到擁擠

在整數88,000,002,999 和 整數88,000,003,000之間，存在一個新的整數，雖然科學家們尚在探索這一片區域，但他們早已為這個整數取好了名字：“S”（英文Surprise首字母）。而接下來的這段話可能真的要讓人Surprise一下：

如果數字“S”的存在得到确認，這将會使該區域内的計數問題更加複雜，因為為了使其存在有意義，“S”很可能回向其兩邊的整數施加壓力。數學家們将這種壓力稱為“整數擁擠”，并表示随着我們沿着數軸的正方向越走越遠，該問題也将會變得越來越棘手。

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