矩陣的逆矩陣的求法

給定矩陣A，如果存在AB = BA = I的矩陣B，則B稱為A的逆矩陣。我們可以類比将一個數乘以它的倒數，得到1，當我們将一個矩陣乘以它的逆矩陣，得到單位矩陣I（參考矩陣的基本知識）。 A的逆矩陣用A-1表示。 逆矩陣被用來求線性方程組的解。 利用行列式和伴随式，我們可以很容易地求出方陣的逆矩陣。

預備知識：

什麼是餘子式?

什麼是代數餘子式？

什麼是伴随矩陣？

行列式的計算（參見行列式的基本概念）

讓我們考慮以下矩陣:

為了找到2的餘子式，我們在2上放上兩條橫豎線，去掉包含2的行和列，如下所示:

剩下的就是原矩陣的2的餘子式：

餘子式用M表示，來源于英語Minor。方陣A的 餘子式是指劃掉列的元素第i行和第j所餘下的行列式。

有了上面餘子式的概念，就容易理解代數餘子式了，它是元素的餘子式乘以一個正負号（±1）。.

設A為n * n階的任意矩陣，為(n - 1) x (n - 1)矩陣，它是通過删除元素的第i行和第j列得到。 然後，這個餘子式再乘以一個符号，正負号是由(-1)的（i j）幂運算确定。 Aij代數餘子式，Aij可由下式求出:

問題:求矩陣的餘子矩陣

解:

設Mij是第i行和第j列元素的餘子式。矩陣A各元素的餘子式的值為:

每項的代數餘子式可以求出；

矩陣A的代數餘子陣形成的矩陣為:

怎樣求逆矩陣？

伴随矩陣：

假如某個2階矩陣的代數餘子式為：

那麼：

更高階的伴随矩陣；

換一種說法，A的伴随矩陣就是将A中的每個元素換成其代數餘子式的值，然後再做轉置矩陣，就形成了A的伴随矩陣。

以下結論非常重要:

隻有非奇異矩陣才具有逆，即方陣a具有逆當且僅當行列式| A | ≠0。 A是可逆的。

矩陣的逆若存在, 它是唯一的，即非奇異矩陣A不能擁有不同的逆，如B和C。如果A是一個非奇異矩陣，那麼A的逆矩陣為：

求矩陣逆的算法:

假設已知一個方陣A，求其逆矩陣。

1 如果行列式|A| = 0，逆矩陣不存在。 如果| A | ≠0，逆矩陣存在，并繼續步驟2。

2找出A中所有元素的餘子式。

3寫出矩陣A的代數餘子式矩陣。

4寫的一個伴随矩陣。

5 求出A逆矩陣

6 通過驗算A是否是單位矩陣來判斷所求的逆矩陣是否正确。

例題:

求A的可逆矩陣

解：

各個元素的餘子式的值為：

=-2，

=1

=-3

=2

在其前面乘上(-1)i j後，得出代數餘子式的矩陣：

所以伴随矩陣（行列互換成為轉置矩陣）為：

讀者自己可以驗證AA-1是否等于1。求逆矩陣還有一種方法請參考用高斯消元法解決線性系統問題。

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