空間角能比較集中的反映學生對空間想象能力的體現，也是曆年來高考命題者的熱點，幾乎年年必考。尤其是理科同學務必注意！空間角是線線角、線面角、面面角的總稱。其取值範圍分别是：0°< q ≤90°、0°≤ q ≤90°、0°< q ≤180°。

空間角的計算思想主要是轉化：即把空間角轉化為平面角，把角的計算轉化到三角形邊角關系或是轉化為空間向量的坐标運算來解。空間角的求法一般是：一找、二證、三求解，手段上可采用：幾何法（正餘弦定理）和向量法。下面舉例說明。

1

異面直線所成的角

例1、

思路一、菱形對角線互相垂直，所以可以利用向量法求解，其中，以BD為x軸，CF為y軸，以垂直于面BCD且垂足在點F處的向量為z軸，這裡需要注意的是，因為翻折過程中面ABD是不斷變化的，所以z軸不好找，也順帶着點E的坐标不好找；

思路二、利用幾何的方法，先進行平移，找到空間角的平面角，點F是中點，再找線段ED中點，連接之後，與線段CF的夾角即為所求！

（由于今天時間比較緊，所以答案解析是手寫的）

解法一、

解法二、

2

直線和平面所成的角

斜線和平面所成的角是一個直角三角形所成的銳角，它的三條邊分别是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面内的射影。因此求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足、再作垂線找射影、通過解直角三角形求解；向量法則利用斜線和射影的夾角或考慮法向量，設θ為直線l與平面α所成的角，為直線l的方向向量與平面α的法向量之間的夾角，則有或（圖1）

圖1

特别地時，，；時，，或。

評析：因規定直線與平面所成角，兩向量所成角，所以用此法向量求出的線面角應滿足。

3

二面角的求法

1．幾何法：二面角轉化為其平面角，要掌握以下三種基本做法：

①直接利用定義，圖3（1）。

②利用三垂線定理及其逆定理，圖3（2）最常用。

③作棱的垂面，圖3（3）。

圖3

另外，特别注意觀察圖形本身是否已含有所求的平面角；

2．向量法：①從平面的法向量考慮，設 分别為平面的法向量，二面角的大小為θ，向量 的夾角為，則有或 （圖4）

圖4

②如果AB、CD分别是二面角的兩個面内與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

例3

小結

1、空間各種角的計算方法都是轉化為平面角或兩向量的夾角來計算的，對空間各種角概念必須深刻理解。平行和垂直可以看作是空間角的特殊情況。

2、幾何法在書寫上體現：“作出來、證出來、指出來、算出來、答出來”五步。

3、向量法通過空間坐标系把空間圖形的性質代數化，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點線面的位置關系的判定和計算程序化、簡單化。主要是建系、設點、計算向量的坐标、利用數量積的夾角公式計算。

本文根據周多民老師整理的文檔改編而成，例題更接近近年高考。

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