今天是高等數學專題的第12篇，我們繼續來看定積分。

之前在講微分求導内容的時候，介紹過一系列微分中值定理的推導。既然有微分中值定理，那麼自然也有積分中值定理，我們下面就來看看積分中值定理的定義。

極值定理

極值定理也叫最大最小值定理，它的含義非常直觀：如果函數f(x)在區間[a,b]上連續的函數，必然存在最大值和最小值，并且取到最大值和最小值至少一次。

這是一個非常有名的定理，定理的内容很直觀，也不難理解。但是證明它不太容易，是由區間套定理與B-M定理等多個定理推導得到的，這段證明過程比較複雜，由于篇幅和水平的限制，本文當中隻能跳過這部分，感興趣的同學可以自行了解。

我們假設m和M分别是區間[a, b]上函數f(x)的最小值和最大值，那麼根據極值定理，可以得到以下式子成立：

這個式子光看可能會覺得有些複雜，但是我們把圖畫出來之後非常簡單：

上圖當中灰色陰影部分就是定積分的結果，藍色的矩形面積是m(b-a)，大的矩形面積是M(b-a)。

通過幾何面積的關系我們可以很容易證明結論。

數學證明也很簡單，由于m和M分别是最小值和最大值，所以我們可以得到 m <= f(x) <= M。我們把常數也看成是函數，進行積分，于是可以得到：

兩邊積分的結果就是矩形面積，于是我們就得到了證明。

積分中值定理

極值定理非常簡單，但是是很多定理的基礎，比如我們的積分中值定理就和它密切相關。

我們對上面的式子做一個簡單的變形，由于b-a是常數并且大于0，所以我們在

這個不等式兩邊同時除以b-a，可以得到：

我們把

這個式子看成一個整體，它的值位于函數在區間的最大值和最小值之間。根據連續函數的介值定理，我們一定可以在[a, b]上找到一點 ξ，使得f(x)在 ξ 這點的取值與這個數值相等，也就是說：

上面這個式子就是積分中值定理了，這裡有兩點要注意，我們先來說簡單的一點，就是我們用到了連續函數介值定理。所以限定了這必須是一個連續函數，否則的話，可能剛好函數在ξ點處沒有定義。這個也是定理成立的先決條件。

第二點是簡單介紹一下連續函數的介值定理，它的含義是說對于一個在區間[a, b]上連續的函數，對于任一在其最大值和最小值之間的常數，我們必然可以在區間[a, b]上找到一點，使得該點的函數值等于這個常數。

搞明白這些細節之後，我們再來看剛才的式子：

我們再把常數乘回來：

右邊的積分算的是什麼，算的是函數圍成的曲形的面積，但是現在我們轉化成了一個函數值乘上了寬，所以我們可以把它看成是矩形的高，我們來看下下面這張圖。

也就是說以 f(ξ) 為高的矩形面積和函數圍成的曲形面積相等，所以它既是矩形的高，也真的是函數在[a, b]上的平均值。

總結

中值定理是微積分領域當中最重要的定理，幾乎沒有之一，也是整個微積分搭建起來的脈絡。我們熟悉中值定理的推導過程，對于我們對加深對于微積分的理解非常有幫助。更重要的一點是，相對來說，這兩個定理的推導過程都不是很難，而且還蠻有意思的，所以推薦大家都親自上手試一試。

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